数学课堂
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相似三角形

核心概念

相似三角形的判定(三条捷径,只需验证一个即可):

  1. AA(两角相等):两个三角形若有两组对应角分别相等,则相似。
  2. SAS(两边比例 + 夹角相等):若两组对应边的比相等且夹角相等,则相似。
  3. SSS(三边比例):若三组对应边的比都相等,则相似。

相似三角形的性质(已知相似比 k=k = 对应边的比):

  • 对应边的比 =k= k;
  • 对应角全部相等;
  • 对应高、中线、角平分线的比 =k= k;
  • 周长的比 =k= k;
  • 面积的比 =k2= k^2 (注意是平方!)。

口诀:边角中线长度比 =k= k,面积比是 kk 的平方。

直观理解 · 动手试试

把相似比 kk 从 11 推到 22:边长翻倍、对应角不变,但面积变成 44 倍(直觉上,因为两个方向都放大了 22 倍)。

互动演示

相似 = 同形不同大 · 拖动 k

△ABC△A'B'C'ABCA'B'C'
1.5
边的比
|AB| / |A'B'| = 2.91 / 4.37 = 0.67
理论值 = 1/k = 0.67
对应角
∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'
相似 ⇒ 对应角全部相等
△ABC ∼ △A'B'C'
例题 1用 AA 判定

△ABC\triangle ABC 中,∠A=60°\angle A = 60°,∠B=80°\angle B = 80°;△DEF\triangle DEF 中,∠D=60°\angle D = 60°,∠F=40°\angle F = 40°。两三角形相似吗?

互动演示AA 判定：两组角相等就相似
△ABC
∠A = 60°，∠B = 80°
∠C = ?
△DEF
∠D = 60°，∠F = 40°
∠E = ?

三角形内角和 180°，所以只要两组对应角相等，第三组必然相等 → 相似（AA 判定）。先用内角和补出缺的角。

▸查看解答步骤

答: 相似

例题 2由相似比求面积

△ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C',相似比 =3= 3(即 A′B′C′A'B'C' 是 ABCABC 的 33 倍)。若 △ABC\triangle ABC 的面积 =4= 4,则 △A′B′C′\triangle A'B'C' 的面积 =?= ?

互动演示相似比 k → 面积比 k²
面积 4面积 36
相似比 k = 3 → 面积比 = k² = 9
大三角形面积 = 4 × 9 = 36

边长放大 k 倍，面积放大 k² 倍（不是 k 倍！）。k=3 → 面积比 9 → 4×9 = 36。

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答: 36

即时练习

两相似三角形周长比 =5= 5,则面积比 == ?

52=255^2 = 25。

两相似三角形面积比 =16= 16,则相似比 == ?

16=4\sqrt{16} = 4。

下列条件能判定 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF 的是?

∠A=∠D\angle A = \angle D,∠B=50°\angle B = 50°,∠E=60°\angle E = 60°∠A=∠D=70°\angle A = \angle D = 70°,∠B=∠E=50°\angle B = \angle E = 50°AB=3AB = 3,DE=6DE = 6,∠B=∠E\angle B = \angle EAB:DE=1:2AB:DE = 1:2,BC:EF=1:2BC:EF = 1:2

B 满足 AA。A 项里 ∠B≠∠E\angle B \neq \angle E;C 项只有一边一角,不构成 SAS(无第二边比);D 项只有两边比,缺第三边或夹角。

    △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C',AB=2AB = 2,A′B′=4A'B' = 4,BC=3BC = 3,则 B′C′=B'C' = ?

    相似比 =4/2=2= 4/2 = 2,B′C′=3×2=6B'C' = 3 \times 2 = 6。

    易错点

    • 面积比写成 kk 而不是 k2k^2。 最常见的错!长度按 kk 放,面积按 k2k^2 放。
    • SAS 中错把"非夹角"当夹角。 必须是两边之间夹的那个角,不是任意角。
    • 三角形顶点对应顺序写反。 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF 时 A↔DA \leftrightarrow D,ABAB 对应 DEDE;写成 △ABC∼△EFD\triangle ABC \sim \triangle EFD 对应关系就完全不同。

    下一步

    前置知识点
    接下来学习