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相似三角形

核心概念

相似三角形的判定(三条捷径,只需验证一个即可):

AA(两角相等):两个三角形若有两组对应角分别相等,则相似。
SAS(两边比例 + 夹角相等):若两组对应边的比相等且夹角相等,则相似。
SSS(三边比例):若三组对应边的比都相等,则相似。

相似三角形的性质(已知相似比 $k =$ 对应边的比):

对应边的比 $= k$ ;
对应角全部相等;
对应高、中线、角平分线的比 $= k$ ;
周长的比 $= k$ ;
面积的比 $= k^2$ (注意是平方!)。

口诀:边角中线长度比 $= k$ ,面积比是 $k$ 的平方。

直观理解 · 动手试试

把相似比 $k$ 从 $1$ 推到 $2$ :边长翻倍、对应角不变,但面积变成 $4$ 倍(直觉上,因为两个方向都放大了 $2$ 倍)。

互动演示

相似 = 同形不同大 · 拖动 k

相似比 k(A'B'C' 相对 ABC 的放缩倍数)1.5

边的比

|AB| / |A'B'| = 2.91 / 4.37 = 0.67

理论值 = 1/k = 0.67

对应角

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'

相似 ⇒ 对应角全部相等

△ABC ∼ △A'B'C'

例题 1用 AA 判定

$\triangle ABC$ 中, $\angle A = 60°$ , $\angle B = 80°$ ; $\triangle DEF$ 中, $\angle D = 60°$ , $\angle F = 40°$ 。两三角形相似吗?

互动演示AA 判定：两组角相等就相似

△ABC

∠A = 60°，∠B = 80°
∠C = ?

△DEF

∠D = 60°，∠F = 40°
∠E = ?

三角形内角和 180°，所以只要两组对应角相等，第三组必然相等 → 相似（AA 判定）。先用内角和补出缺的角。

▸查看解答步骤

答: 相似

例题 2由相似比求面积

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ ,相似比 $= 3$ (即 $A'B'C'$ 是 $ABC$ 的 $3$ 倍)。若 $\triangle ABC$ 的面积 $= 4$ ,则 $\triangle A'B'C'$ 的面积 $= ?$

互动演示相似比 k → 面积比 k²

相似比 k = 3 → 面积比 = k² = 9

大三角形面积 = 4 × 9 = 36

相似比 k = 3

边长放大 k 倍，面积放大 k² 倍（不是 k 倍！）。k=3 → 面积比 9 → 4×9 = 36。

▸查看解答步骤

答: 36

即时练习

两相似三角形周长比 $= 5$ ,则面积比 $=$ ?

$5^2 = 25$ 。

两相似三角形面积比 $= 16$ ,则相似比 $=$ ?

$\sqrt{16} = 4$ 。

下列条件能判定 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ 的是?

\angle A = \angle D

\angle B = 50°

\angle E = 60°

\angle A = \angle D = 70°

\angle B = \angle E = 50°

AB = 3

DE = 6

\angle B = \angle E

AB:DE = 1:2

BC:EF = 1:2

B 满足 AA。A 项里 $\angle B \neq \angle E$ ;C 项只有一边一角,不构成 SAS(无第二边比);D 项只有两边比,缺第三边或夹角。

$\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$ , $AB = 2$ , $A'B' = 4$ , $BC = 3$ ,则 $B'C' =$ ?

相似比 $= 4/2 = 2$ , $B'C' = 3 \times 2 = 6$ 。

易错点

面积比写成 $k$ 而不是 $k^2$ 。 最常见的错!长度按 $k$ 放,面积按 $k^2$ 放。
SAS 中错把"非夹角"当夹角。 必须是两边之间夹的那个角,不是任意角。
三角形顶点对应顺序写反。 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ 时 $A \leftrightarrow D$ , $AB$ 对应 $DE$ ;写成 $\triangle ABC \sim \triangle EFD$ 对应关系就完全不同。

下一步

前置知识点

图形的相似

接下来学习

位似