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实际问题与一元二次方程

核心概念

用一元二次方程解决实际问题,关键是设未知数、列方程。常见模型:

1. 平均增长率(或下降率)模型: 若初始量为 aa,经过两期,平均每期变化率为 xx,末量为 bb:

a(1+x)2=b(增长)a(1 + x)^2 = b \quad \text{(增长)}a(1−x)2=b(下降)a(1 - x)^2 = b \quad \text{(下降)}

2. 面积模型:常见情形是矩形花圃留出小路,或两边等宽的边框。先用未知数表达长、宽,再用面积公式列方程。

3. 几何分割 / 数字模型:如两位数与其反序数、连续整数之积、勾股数关系等。

4. 利润模型:利润 == 单件利润 ×\times 销量,常与销售量随售价变化的线性关系结合。

解题流程:

  1. 设:设合适的未知数(常用 xx);
  2. 列:用未知数表达各量,列出方程;
  3. 解:解方程;
  4. 检:检验是否符合实际意义(如长度、人数 >0> 0,增长率 0<x<10 < x < 1 等);
  5. 答:回答问题。

直观理解 · 动手试试

应用题的难点不在解方程,而在翻译。把"年增长率"、"边长"、"涨价多少元"这些日常语言变成 xx,等量关系变成 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0,接下来就是机械求根。最后一定要回到原情境:小路宽 1616 米的解显然不合理,要舍掉。

互动演示拖动 a、b、c,观察抛物线
-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345O顶点 (0.00, -1.00)
1.0
0.0
-1.0
开口向上顶点 (0.00, -1.00) · 开口向上
拖动 a、b、c,观察顶点和开口方向如何变化。
例题 1平均增长率

某商品两年前售价 100100 元,现在售价 144144 元,求平均每年的增长率。

互动演示平均增长率：100(1+x)² = 144
起始
100
×(1+0.20)
第1年
120.0
×(1+0.20)
第2年
144.0
✓ 正好 144 → 年增长率 20%

连续两年增长 = 乘两次 (1+x)。解 (1+x)²=1.44 → 1+x=1.2 → x=0.2。负根 −2.2 不合实际，舍去。

▸查看解答步骤

答: 20%

例题 2矩形花圃

一块长 2020 米、宽 1515 米的矩形地块,要在四周修等宽小路,使剩余花圃面积为 204204 平方米。求小路宽度。

互动演示矩形花圃：四周小路宽 x
20 米花圃 204 m²
花圃 = (20−2x)(15−2x)
= (17.0)(12.0) = 204.0
✓ 面积 = 204 → 小路宽 1.5 米

花圃长宽各被两条小路占去 2x。解 (20−2x)(15−2x)=204 得 x=1.5 或 x=16；x=16 会让宽为负，舍去。

▸查看解答步骤

答: 小路宽 = 1.5 米

即时练习

某厂去年产量 100100 万件,经过两年后达到 121121 万件。平均每年增长率为多少百分比?

100(1+x)2=121⇒(1+x)2=1.21⇒x=0.1100(1 + x)^2 = 121 \Rightarrow (1 + x)^2 = 1.21 \Rightarrow x = 0.1,即 10%10\%。

两个连续正整数的乘积是 4242,求较小的那一个。

设较小为 xx,x(x+1)=42x(x + 1) = 42,即 x2+x−42=0x^2 + x - 42 = 0,(x−6)(x+7)=0(x - 6)(x + 7) = 0,取 x=6x = 6。

直角三角形两直角边相差 22,斜边为 1010。较长直角边为?

设较短直角边为 xx,则较长为 x+2x + 2。由勾股 x2+(x+2)2=100x^2 + (x+2)^2 = 100,展开 2x2+4x−96=02x^2 + 4x - 96 = 0,x2+2x−48=0x^2 + 2x - 48 = 0,(x−6)(x+8)=0(x - 6)(x + 8) = 0,x=6x = 6。较长 =6+2=8= 6 + 2 = 8。

某商品原价 5050 元,经两次降价后变为 3232 元。平均每次的降价百分率约为?

10%10\%20%20\%30%30\%40%40\%

50(1−x)2=32⇒(1−x)2=0.64⇒1−x=0.8⇒x=0.250(1 - x)^2 = 32 \Rightarrow (1 - x)^2 = 0.64 \Rightarrow 1 - x = 0.8 \Rightarrow x = 0.2。

    易错点

    • 不检验实际意义就报答案。 解出两个根时,长度/人数/百分比一定要带回实际背景,舍去不合理的根(如负数、过大百分比)。
    • 增长 vs 下降公式弄反。 增长用 (1+x)(1 + x),下降用 (1−x)(1 - x);两期就平方,三期就立方。
    • 设未知数过早化简。 列方程前,先把"现在比原来多/少多少"等关系用未知数表达清楚,再列方程,避免漏条件。

    下一步

    前置知识点