进阶≈ 18 分钟未开始

解一元二次方程

核心概念

解一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）的四种常用方法：

1. 直接开方法：形如 $x^2 = k$ 或 $(x + h)^2 = k$ 的方程， $k \geq 0$ 时，两边开方。

(x + h)^2 = k \Rightarrow x = -h \pm \sqrt{k}

2. 配方法：把方程左边配成完全平方式。先把二次项系数化为 $1$ ，移项，两边加一次项系数一半的平方。

3. 公式法（求根公式）：对任何 $a \neq 0$ 的一元二次方程，当 $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$ 时：

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

4. 因式分解法：把方程左边因式分解为两个一次因式之积，利用零积律：若 $AB = 0$ ，则 $A = 0$ 或 $B = 0$ 。

选用建议：

一边能直接开方 → 直接开方法；
易因式分解（如两数和、积可凑）→ 因式分解法；
一般情形 → 公式法（最稳）；
配方法多用于推导公式或证明，直接解题时常用前三种。

直观理解 · 动手试试

下面对方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 演示三种方法。无论用哪一种，答案都一样： $x_1 = 2,\ x_2 = 3$ 。

互动演示

解方程 — 三种方法

第 1 / 4 步 · 原方程

三种方法殊途同归,都得到。

其中，“配方法”是理解一元二次方程和推导求根公式的核心。👇 通过下面的交互组件，你可以一步步观察“配方法”是如何将一般形式转化为完全平方式的：

一次项系数 b = -6

常数项 c = 5

1. 初始方程

为了方便演示，我们设定二次项系数 a=1。观察当前的一次项和常数项。

x² - 6x + 5 = 0

除了代数计算，我们也可以借助函数图像直观地理解方程的解。求解一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ ，本质上就是寻找二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像（抛物线）与 $x$ 轴的交点。

👇 试着调节下方滑块，观察抛物线位置与方程实数根个数的对应关系：

函数图像： y = x² - 5x + 6

系数 a = 1

系数 b = -5

系数 c = 6

判别式 Δ = b² - 4ac = 1

方程有两个不同的实数根：
x₁ ≈ 2.00, x₂ ≈ 3.00

例题 1公式法解方程

用公式法解 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 。

互动演示公式法：x = (−b ± √Δ) / 2a

a=1, b=−5, c=6

第 1 / 4 步

求根公式对任何二次方程都管用：先定 a、b、c，算 Δ，再代入。Δ≥0 才有实根。

▸查看解答步骤

答: x₁=2, x₂=3

例题 2因式分解法

解 $x^2 = 4x$ 。

互动演示因式分解法 + 零积律

切勿两边除以 x —— 那样会丢掉 x=0 这个解！

第 1 / 4 步

能因式分解就优先用它。两边不要随便除以含 x 的式子，否则会丢解（x=0）。

▸查看解答步骤

答: x₁=0, x₂=4

即时练习

方程 $(x - 3)^2 = 0$ 的实数根是 $x = ?$

两边开方 $x - 3 = 0$ ，所以 $x = 3$ （重根）。

方程 $x^2 - 6x + 8 = 0$ 的两根是?

x_1 = 2,\ x_2 = 4

x_1 = 1,\ x_2 = 8

x_1 = -2,\ x_2 = -4

x_1 = 3,\ x_2 = 5

两数和 $6$ 、积 $8$ ⇒ $2$ 与 $4$ 。所以 $(x - 2)(x - 4) = 0$ ， $x_1 = 2,\ x_2 = 4$ 。

方程 $2x^2 - 7x + 3 = 0$ 的两根之和是?(填小数)

由韦达定理： $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{2} = \dfrac{7}{2} = 3.5$ 。

下列哪个方程没有实数根?

x^2 - 1 = 0

x^2 + 2x + 1 = 0

x^2 + x + 1 = 0

x^2 - 2x - 3 = 0

逐个算 $\Delta$ ：C 中 $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ ，无实根。

用配方法解方程 $x^2 + 8x - 3 = 0$ 时，将其化为 $(x + m)^2 = n$ 的形式，则 $n$ 的值是？

配方法的关键步骤：

移项，把常数项移到右边： $x^2 + 8x = 3$
两边同加一次项系数 $8$ 的一半的平方，即 $4^2 = 16$ ： $x^2 + 8x + 16 = 3 + 16$
化简成完全平方式： $(x + 4)^2 = 19$

对比 $(x + m)^2 = n$ ，得到 $m = 4,\ n = 19$ 。所以答案是 19。

【拓展挑战】用“换元法”解方程 $(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) - 12 = 0$ ，其所有的实数根是？

x_1 = 3,\ x_2 = -2

x_1 = 3,\ x_2 = -2,\ x_3 = 2,\ x_4 = -1

x_1 = 6,\ x_2 = -2

x_1 = 2,\ x_2 = -3

这是一道典型的换元法结合判别式的综合题。

设元：观察到方程中有相同的整体结构，设 $y = x^2 - x$ 。
代换：原方程可化为关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2 - 4y - 12 = 0$ 。
解关于 $y$ 的方程：因式分解得 $(y - 6)(y + 2) = 0$ ，解得 $y_1 = 6,\ y_2 = -2$ 。
还原求 $x$ ：
- 当 $y = 6$ 时， $x^2 - x = 6$ ，即 $x^2 - x - 6 = 0$ 。因式分解 $(x - 3)(x + 2) = 0$ ，得 $x_1 = 3,\ x_2 = -2$ 。
- 当 $y = -2$ 时， $x^2 - x = -2$ ，即 $x^2 - x + 2 = 0$ 。计算判别式 $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$ ，该方程无实数根。

所以，原方程的实数根只有 $x_1 = 3,\ x_2 = -2$ 。

易错点

两边除以 $x$ 丢解。 解 $x^2 = 4x$ 时若两边同除 $x$ ，得 $x = 4$ ，丢掉了 $x = 0$ 。正确做法是移项再因式分解。
公式法忘记 $b$ 取自身符号。 $b = -5$ 代入时是 $-b = 5$ ，而不是把 $-(-5) = 5$ 错写成 $-5$ 。代公式前先把 $a, b, c$ 单独写出来，带符号代。
$\Delta < 0$ 强算根。 $\Delta < 0$ 时方程没有实数根，不要继续往公式里塞 $\sqrt{\text{负数}}$ 。

下一步

前置知识点

一元二次方程

接下来学习

实际问题和一元二次方程