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一元二次方程

核心概念

一元二次方程:只含一个未知数,且未知数的最高次数为 2 的整式方程。

一般形式:

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

$a$ 叫二次项系数(必须 $a \neq 0$ ,否则不是二次);
$b$ 叫一次项系数(可以为 $0$ );
$c$ 叫常数项(可以为 $0$ )。

判别式:

\Delta = b^2 - 4ac

$\Delta > 0$ :方程有两个不相等的实数根;
$\Delta = 0$ :方程有两个相等的实数根(也叫"重根");
$\Delta < 0$ :方程没有实数根。

判别式只判断根的个数和类型,本身不解方程。

直观理解 · 动手试试

一元二次方程的图像就是一条抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 。"方程的根"就是抛物线与 x 轴的交点横坐标。判别式 $\Delta$ 告诉你抛物线碰了 x 轴几次: $\Delta > 0$ 切两刀(两不同根)、 $\Delta = 0$ 擦一下(重根)、 $\Delta < 0$ 完全错开(无实根)。

互动演示拖动 a、b、c,观察抛物线

a (二次项)1.0

b (一次项)0.0

c (常数项)-1.0

开口向上顶点 (0.00, -1.00) · 开口向上

拖动 a、b、c,观察顶点和开口方向如何变化。

例题 1化为一般形式

把方程 $3x^2 - 2x = 5$ 化为一般形式,并写出 $a, b, c$ 。

互动演示化为一般形式，读出 a、b、c

原方程

一般形式要求右边为 0、按降幂排列。a、b、c 都要连同符号，b = −2、c = −5（别漏负号）。

▸查看解答步骤

答: 3x²-2x-5=0; a=3, b=-2, c=-5

例题 2用判别式判断根的情况

判断 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的根的情况。

互动演示判别式 Δ = b² − 4ac 决定根的个数

a = 1，b = -5，c = 6

Δ = -5² − 4·1·6 = 1

Δ > 0 → 两个不相等实根（2 个交点）

b = -5

c = 6

Δ>0 抛物线与 x 轴交两点（两实根）；Δ=0 相切（一个重根）；Δ<0 不相交（无实根）。本题 Δ=1>0。

▸查看解答步骤

答: Δ=1>0,两不等实根

即时练习

下列方程中,是一元二次方程的是?

x + 2 = 0

2x^2 - 3 = 0

x^2 + \dfrac{1}{x} = 1

x^3 - x = 0

A 是一元一次方程;C 含分式 $1/x$ ,不是整式方程;D 最高次为 $3$ 。只有 B 形如 $ax^2 + c = 0$ ( $a \neq 0$ ),是一元二次方程。

把方程 $2x(x - 3) = 1$ 化为一般形式后,常数项 $c$ 是?

展开: $2x^2 - 6x = 1$ ,移项: $2x^2 - 6x - 1 = 0$ 。常数项 $c = -1$ 。

(注:这题答案是 $-1$ ,请重新核对)

方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 的判别式 $\Delta = ?$

$a = 1,\ b = -4,\ c = 4$ , $\Delta = 16 - 16 = 0$ 。

(注:答案应为 0,请重新核对)

关于 $x$ 的方程 $(m - 1)x^2 + 3x - 2 = 0$ 是一元二次方程,则 $m$ 必须满足?

m = 1

m \neq 1

m > 1

m

取任意实数

要保证是二次方程,二次项系数必须 $\neq 0$ : $m - 1 \neq 0$ ,即 $m \neq 1$ 。

易错点

忘了 $a \neq 0$ 的条件。 题目说"关于 $x$ 的一元二次方程"时,务必检查二次项系数是否可能为 $0$ ;为 $0$ 时它就不是二次方程了。
化简不到一般形式就读系数。 一定要先化成 $ax^2 + bx + c = 0$ ,再对应 $a, b, c$ ;尤其是负号易丢。
用 $\Delta$ 判断时算错符号。 $\Delta = b^2 - 4ac$ ,如果 $c$ 是负数, $-4ac$ 就变成正数, $\Delta$ 会更大;符号一错,根的个数判断全错。

下一步

前置知识点

数据的波动程度

接下来学习

解一元二次方程