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分式

核心概念

分式 (algebraic fraction):形如 $\dfrac{A}{B}$ ,其中 $A,\ B$ 都是整式,且 $B$ 中含字母。例如:

\frac{x + 1}{x - 2},\quad \frac{2}{y},\quad \frac{a^2 - 1}{a + 1}

注意:若分母不含字母(只是数字),则它是分数而非分式。例如 $\dfrac{x}{2}$ 仍是整式(单项式)。

分式有意义的条件:分母不能为零,即 $B \neq 0$ 。

\frac{x + 1}{x - 2} \text{ 有意义} \iff x - 2 \neq 0 \iff x \neq 2

分式值为零的条件:分子等于零,同时分母不为零。

\frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \ \text{且}\ B \neq 0

分式的基本性质(类比分数):分子分母同乘 / 同除以同一个不为零的整式,分式值不变。

\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} = \frac{A \div C}{B \div C} \quad (C \neq 0)

约分:用分子分母的公因式除去,化为最简分式。通分:把异分母分式化成相同分母 —— 找各分母的最简公分母(LCD)。

直观理解 · 动手试试

分式 = "字母分母版"的分数。最大风险点就是分母不能为零 —— 因此每次写分式都要在心里默默问一句:"这个分母什么时候会变 0?"那些 $x$ 值就要排除。

判定"分式 = 0"要两条同时满足:分子为零(否则结果不是 0)、分母不为零(否则没意义)。两条缺一不可。

拖动 $x$ 试试,观察一个具体的分式什么时候"没意义"、什么时候"=0":

互动演示分式 $\dfrac-1-1$ — 什么时候有意义?

当 x = 1.00 时:

分子 x − 2

-1.00

分母 x² − 4

-3.00

分式值

0.333

拖动 x:1.00

分式有意义 ⇔ 分母 ≠ 0。 $x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0$ 时,$x = 2$ 或 $x = -2$,这两个值不在定义域里。注意 $x = 2$ 时**分子也是 0**,但分式仍然未定义 — 因为运算前必须先排除分母为 0 的值。

例题 1求分式有意义的条件

分式 $\dfrac{2x - 1}{x - 3}$ 有意义, $x$ 应满足什么条件?

互动演示分式有意义 ⇔ 分母 ≠ 0

x = 1：分母 x − 3 = -2

值 = -0.50

拖动 x =1

定义域就是"数轴上挖掉使分母为 0 的点"。这里 x − 3 = 0 ⇒ x ≠ 3，其余实数都可以。

▸查看解答步骤

答: x ≠ 3。

例题 2求分式值为零的 x 值

当 $x$ 为何值时,分式 $\dfrac{x^2 - 1}{x + 1}$ 的值等于零?

互动演示分式值为 0：分子 = 0 且分母 ≠ 0

① 分子 = 0

x² − 1 = 0 → x = 1 或 −1

② 分母 ≠ 0

x + 1 ≠ 0 → x ≠ −1

两个候选 x = ±1 中，x = −1 会让分母为 0（分式无意义），必须舍去。只剩 x = 1。

▸查看解答步骤

答: x = 1。

即时练习

下列各式中,是分式的是?

\dfrac{x}{3}

\dfrac{3}{x}

\dfrac{x + 1}{2}

\sqrt{x}

分式的关键:分母含字母。 $\dfrac{3}{x}$ 分母是 $x$ (含字母),是分式; $\dfrac{x}{3}$ 分母只是数字 3,是整式。

分式 $\dfrac{x - 5}{x + 2}$ 的值为零时, $x =$ ?

分子 $x - 5 = 0$ 得 $x = 5$ ;同时分母 $5 + 2 = 7 \neq 0$ ,成立。故 $x = 5$ 。

只要分母不为零,分式就有意义,与分子取何值无关。

分子可以是任何整式(包括 0)。"有意义"只看分母 $\neq 0$ 。

分式 $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 2)}$ 有意义时 $x$ 应满足?

x \neq 0

x \neq 1

x \neq -2

x \neq 1

且

x \neq -2

分母为零时无意义。 $(x-1)(x+2) = 0 \iff x = 1$ 或 $x = -2$ ,两者都要排除。

易错点

把"分式值为零"只看分子。 必须同时保证分母 $\neq 0$ 。若让分子分母同时为零,结果是 $\dfrac{0}{0}$ ,没意义(不是零)。
以为分母是字母就一定不为零。 字母分母可能在某些 $x$ 值下为零,这些 $x$ 必须排除。
把整式当分式。 $\dfrac{x}{3}$ 分母是数,是整式不是分式。

下一步

前置知识点

因式分解

接下来学习

分式的运算