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因式分解

核心概念

因式分解:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。它是整式乘法的逆运算。

x2+5x+6⏟多项式=(x+2)(x+3)⏟乘积\underbrace{x^2 + 5x + 6}_{\text{多项式}} = \underbrace{(x + 2)(x + 3)}_{\text{乘积}}

初中常用方法:

1) 提公因式法:找出所有项共同的因式提出去。

6x2−9x=3x⋅(2x−3)6 x^2 - 9 x = 3x \cdot (2x - 3)

公因式 3x3x 是所有项系数的最大公约数和字母最低次幂的乘积。

2) 公式法(用乘法公式反向):

  • 平方差公式逆用:a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • 完全平方公式逆用:a2±2ab+b2=(a±b)2a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

3) 十字相乘法(简单介绍):对 x2+px+qx^2 + px + q,找两数 m,nm, n 满足 m+n=p, mn=qm + n = p,\ mn = q,则

x2+px+q=(x+m)(x+n)x^2 + px + q = (x + m)(x + n)

例如 x2+5x+6=(x+2)(x+3)x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3),因 2+3=5, 2⋅3=62 + 3 = 5,\ 2 \cdot 3 = 6。

分解步骤:① 先提公因式;② 再考虑公式法;③ 检查每个因式是否还能继续分解(分解到底)。

直观理解 · 动手试试

因式分解和整式乘法是一对互逆操作。乘法是"展开",分解是"反着拼回去"。

为什么要分解?因为乘积形式比"和"形式更有用 —— 例如解方程 x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0,如果保持多项式形式很难看出答案;但分解成 (x+2)(x+3)=0(x+2)(x+3) = 0 之后,一目了然:两因式之一为零 ⇒ x=−2x = -2 或 x=−3x = -3。

下面用图形来"看见"平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) —— 一个 L 形如何重排成长方形:

互动演示

平方差公式的几何意义:a² − b² = (a + b)(a − b)

a = 5
b = 2
a = 5ab² 缺口L 形:a² − b² = 21
a² − b² = (a + b)(a − b)
5² − 2² = (5 + 2)(5 − 2)  ⇒  25 − 4 = 7 × 3 = 21
左侧大正方形(边 a)去掉右上角小正方形(边 b)得 L 形;点击"拼成长方形"把 L 形重排成 (a+b) × (a−b) 的长方形 —— 两者面积相等。
例题 1平方差分解

分解 4x2−94x^2 - 9。

互动演示平方差分解（展开的逆过程）
目标：分解因式
第 1 / 3 步

分解的关键是认出两个平方项，再开方得到 a 和 b。只有"平方差"能这样分解，平方和不行。

▸查看解答步骤

答: (2x + 3)(2x − 3)。

例题 2完全平方分解

分解 x2+6x+9x^2 + 6x + 9。

互动演示完全平方分解：验中间项是否 = 2ab
首项 √(x²) = x → a = 1；末项 √9 = 3 → b = 3
需要中间项 2ab = 2·1·3 = 6，当前是 6
✓ 完全平方

判断完全平方式：首末两项开方得 a、b，再看中间项是否正好等于 2ab。x²+6x+9 中 6 = 2·1·3 ✓ → (x+3)²。

▸查看解答步骤

答: (x + 3)²。

即时练习

分解 x2−16x^2 - 16 的结果是?

(x−4)2(x - 4)^2(x+4)2(x + 4)^2(x+4)(x−4)(x + 4)(x - 4)x(x−16)x(x - 16)

平方差:x2−16=x2−42=(x+4)(x−4)x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x + 4)(x - 4)。

    x2−10x+25x^2 - 10x + 25 分解得?

    (x+5)2(x + 5)^2(x−5)2(x - 5)^2(x−5)(x+5)(x - 5)(x + 5)x(x−10)+25x(x - 10) + 25

    完全平方:x2−2⋅x⋅5+52=(x−5)2x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x - 5)^2。

      分解 6x2−9x6x^2 - 9x 的结果是?

      3(2x2−3x)3(2x^2 - 3x)3x(2x−3)3x(2x - 3)3x⋅2x−3x⋅33x \cdot 2x - 3x \cdot 3x(6x−9)x(6x - 9)

      公因式是 3x3x(33 与 xx 都是两项的公共因子)。提取后剩 2x−32x - 3。"3(2x2−3x)3(2x^2-3x)" 没提到底,"x(6x−9)x(6x-9)" 漏了系数的公因数 3。

        x2+4x^2 + 4 可分解为 (x+2)2(x + 2)^2。

        错!(x+2)2=x2+4x+4(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4,中间有 4x4x。x2+4x^2 + 4 是"平方和",在实数范围内不能分解。

        易错点

        • 提公因式没提到底。 例:6x2−9x6x^2 - 9x 提成 3(2x2−3x)3(2x^2 - 3x) 还能继续提 xx,正确是 3x(2x−3)3x(2x - 3)。
        • 把"平方和"当成平方差。 a2+b2a^2 + b^2 在实数范围不能分解;只有 a2−b2a^2 - b^2(平方差)才能。
        • 把完全平方公式中间项漏掉。 x2+9x^2 + 9 不等于 (x+3)2(x+3)^2。(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9,必须先看中间项 6x6x 是否存在。
        • 分解不彻底。 例如 x4−1=(x2−1)(x2+1)=(x−1)(x+1)(x2+1)x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) —— 第一步分解后,x2−1x^2 - 1 还能继续分。

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