入门≈ 14 分钟未开始

整式的乘法

核心概念

整式乘法分三种情形,层层递进。

1) 单项式 × 单项式:系数相乘,同底数字母按同底数幂相乘( $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ),不同字母原样相乘。

3a^2 b \cdot (-2 a b^3) = (3) (-2) \cdot a^{2+1} \cdot b^{1+3} = -6 a^3 b^4

2) 单项式 × 多项式:用分配律,把单项式与多项式的每一项相乘,再相加。

2x \cdot (3x + 4y - 5) = 6x^2 + 8xy - 10x

3) 多项式 × 多项式:把第一个多项式的每一项和第二个的每一项相乘,再把结果相加。

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

关键提醒:

注意符号( $+ / -$ )的处理;
同类项要合并;
字母乘方时指数相加,不要相乘。

直观理解 · 动手试试

多项式乘法的本质是反复使用分配律。把 $(a+b)(c+d)$ 想成两个"和" —— $A = a+b$ 和 $C = c+d$ —— 那么 $A \cdot C = (a+b) \cdot C = aC + bC = a(c+d) + b(c+d) = ac + ad + bc + bd$ 。

它有一个非常漂亮的几何对应:矩形面积模型。

互动演示

多项式乘法的面积模型

ac + ad + bc + bd = 2 + 4 + 3 + 6 = 15

把一个边长为 $a+b$ 和 $c+d$ 的大矩形切成 4 小块,每小块面积分别是 $ac, ad, bc, bd$ ;总面积 = 它们之和 = $(a+b)(c+d)$ 。这就是"为什么每项都要乘到"的几何解释。

例题 1单项式乘多项式

计算 $2x(3x - 2y + 1)$ 。

互动演示单项式乘多项式 = 分配律逐项相乘

2x · 3x

2x · −2y

2x · 1

0 / 3 项

把 2x 分别乘进括号里每一项（包括最后的 +1，别漏）。三项相乘后拼接即得结果。

▸查看解答步骤

答: 6x² − 4xy + 2x。

例题 2多项式乘多项式

计算 $(x + 2)(x + 3)$ 。

互动演示(x+2)(x+3) —— 面积矩形拆四块

	x	+3
x
+2

每项乘每项 = 大矩形拆成四小块。两块 3x、2x 是同类项，合并成 5x → x² + 5x + 6。

▸查看解答步骤

答: x² + 5x + 6。

即时练习

$3a^2 \cdot 4a^3 =$ ?

7 a^5

12 a^5

12 a^6

7 a^6

系数 $3 \times 4 = 12$ ,字母 $a^{2+3} = a^5$ 。

$(x + 4)(x + 5)$ 展开后, $x$ 的常数项(不带 $x$ 的项)等于多少?

$(x + 4)(x + 5) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x + 20$ 。常数项 $= 20$ 。

$(2x - 1)(x + 3)$ 展开后是?

2x^2 - x - 3

2x^2 + 5x - 3

2x^2 - 5x + 3

2x^2 + 5x + 3

$(2x)(x) + (2x)(3) + (-1)(x) + (-1)(3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$ 。

$2x \cdot (3x + 4) = 6x + 8x = 14x$ 。

错。分配律给出 $2x \cdot 3x = 6x^2$ (不是 $6x$ ), $2x \cdot 4 = 8x$ 。正确结果是 $6x^2 + 8x$ 。

易错点

同底数幂相乘指数写成"相乘"。 $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$ ,不是 $a^{2 \times 3} = a^6$ 。
分配律漏项。 $(a+b)(c+d)$ 必须算 4 项;漏掉 $ad$ 或 $bc$ 是常见错误。
符号丢失。 遇到 $-2x$ 与括号相乘时,括号每一项都要带上负号: $-2x(y - 3) = -2xy + 6x$ ,注意 $-2x \cdot (-3) = +6x$ 。

下一步

前置知识点

探索:最短路径问题

接下来学习

乘法公式