数学课堂
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乘法公式

核心概念

两个最常用的乘法公式(都可由多项式乘法直接推导,但直接背诵能极大简化计算)。

1) 平方差公式 (difference of squares):

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

特征:两个二项式中,一项相同(aa),一项相反(一个 +b+b,一个 −b-b)。

2) 完全平方公式 (perfect square):

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

特征:一个二项式的平方,等于"首平方 + 末平方 ± 2 倍首末积"。中间项的符号与括号内符号一致。

统一口诀:

  • 平方差:"相同减相反":a2−b2a^2 - b^2;
  • 完全平方:"首平方 + 末平方,2 倍首末记中间"。

直观理解 · 动手试试

这两个公式不仅是代数恒等式,更有几何含义。

互动演示

完全平方公式的几何模型

a3
b2
a² = 9ab = 6ab = 6b² = 4a = 3b = 2ab
大正方形边长 a+b = 5,总面积 (a+b)² = 25;它正好等于 a² + 2ab + b²。

把边长 a+ba+b 的大正方形切成四块:

  • 左上 a2a^2,右下 b2b^2,两块"长方形"各 abab;
  • 加起来正好 a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2。

这告诉我们:完全平方公式来自"正方形面积 = 内部小块之和"的面积分解。平方差公式 (a+b)(a−b)(a+b)(a-b) 也可用类似的"挖去一个 b×bb \times b 正方形"几何方法直观证明。

例题 1用平方差公式

计算 (x+5)(x−5)(x + 5)(x - 5)。

互动演示平方差公式：中间两项抵消
x²−5x+5x−25
−5x 与 +5x 互为相反数 → 抵消
=

(a+b)(a−b) 展开后中间的 −bx 与 +bx 永远抵消，只剩 。本题 a=x、b=5 → x² − 25。

▸查看解答步骤

答: x² − 25。

例题 2用完全平方公式

计算 (2x+3)2(2x + 3)^2。

互动演示完全平方：(2x+3)² 的面积正方形
2x3

(a+b)² = a² + 2ab + b²。两个黄色矩形就是中间项 2ab = 2·2x·3 = 12x —— 最容易漏掉的就是这个 2ab。

▸查看解答步骤

答: 4x² + 12x + 9。

即时练习

(x−4)(x+4)=(x - 4)(x + 4) = ?

x2+16x^2 + 16x2−16x^2 - 16x2−8x+16x^2 - 8x + 16x2+8x−16x^2 + 8x - 16

平方差公式:(x−4)(x+4)=x2−16(x - 4)(x + 4) = x^2 - 16。

    (a−3)2=(a - 3)^2 = ?

    a2−9a^2 - 9a2+9a^2 + 9a2−6a+9a^2 - 6a + 9a2−6a−9a^2 - 6a - 9

    完全平方:a2−2⋅a⋅3+32=a2−6a+9a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9。

      利用平方差公式快速计算:99×101=99 \times 101 = ?

      99×101=(100−1)(100+1)=1002−12=10000−1=999999 \times 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999。

      (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2。

      错!正确是 (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,中间多一项 2ab2ab。这是初中阶段最高频错误。

      易错点

      • (a+b)2=a2+b2(a+b)^2 = a^2 + b^2(漏掉 2ab2ab)—— 最高频错误。完全平方一定有中间项。
      • 平方差当成完全平方。(a+b)(a−b)(a+b)(a-b) 是平方差,结果是 a2−b2a^2 - b^2,没有 2ab2ab 中间项。
      • 符号处理失误:(a−b)2(a-b)^2 中间项是 −2ab-2ab;首末同号(都是正)而中间项与括号内符号一致。

      下一步

      前置知识点
      接下来学习