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分式方程

核心概念

分式方程:分母中含未知数的方程。例如:

\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x}

基本解法 —— 去分母:

为什么必须验根?

去分母时"两边同乘 LCD"是合法变形,但 LCD 中含未知数 —— 如果该值正好让 LCD = 0,就相当于"两边乘 0",会引入新解(增根)。这些增根虽满足整式方程,但不满足原分式方程(原方程那里分母为零,根本没意义)。

所以解分式方程的最后一步,永远是验根。

整式方程的解一定是分式方程的候选解,但反过来不一定。增根的来源:LCD 等于零时,我们"两边乘 0",这一步不可逆,把"分母为零"的 $x$ 值偷偷塞进了候选答案。

直观记忆:含字母分母的方程,解完必须验根 —— 不验等于没解完。

下面分步演示一个会产生增根的真实例子。一步步点"下一步",看不验根会发生什么:

互动演示分式方程 — 为什么必须验根

Step 0 — 原方程

两边都有分母 (x-1)。

分式方程的解题口诀:**去分母 → 化为整式方程 → 解出 → 验根**。验根不是仪式 —— 真的有可能算出来的"解"使原方程无定义,这种解必须舍掉。

例题 1解分式方程

解方程 $\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{3}{x}$ 。

互动演示解分式方程：去分母 → 解 → 验根

分式方程，LCD = x(x−1)

第 1 / 4 步

分式方程必须验根：去分母可能引入让原分母为 0 的"增根"。本题 x=3 验证通过。

▸查看解答步骤

答: x = 3。

例题 2含增根的方程

解 $\dfrac{1}{x - 1} = \dfrac{x}{x - 1} - 1$ 。

互动演示增根：去分母引入的"假"解

LCD = x − 1

第 1 / 4 步

去分母把分式方程变成整式方程时，可能多出让原分母为 0 的解。验根这一步专门用来抓增根。

▸查看解答步骤

答: 无解(x = 1 是增根)。

解方程 $\dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{x + 2}$ , $x =$ ?

两边乘 $x(x+2)$ : $3(x+2) = 6x$ , $3x + 6 = 6x$ , $3x = 6$ , $x = 2$ 。验根: $x = 2,\ x+2 = 4$ ,分母都不为零,成立。

解分式方程时,必须把求出的候选解代回原方程的分母验根。

这是解分式方程的固定流程。去分母可能引入增根。

下列哪个不是分式方程?

\dfrac{1}{x} + 2 = 3

\dfrac{x + 1}{x - 2} = 5

\dfrac{x}{3} - 1 = \dfrac{x - 1}{2}

\dfrac{2}{x + 1} = \dfrac{3}{x}

判断分式方程:分母中是否含未知数。第三个的分母都是数字 ( $3, 2$ ),不含未知数,所以是整式方程。

解方程 $\dfrac{x}{x - 1} = \dfrac{5}{4}$ , $x =$ ?

两边乘 $4(x-1)$ : $4x = 5(x-1)$ , $4x = 5x - 5$ , $x = 5$ 。验根 $x = 5,\ x-1 = 4 \neq 0$ ,成立。

忘记验根。 解分式方程最容易丢分的环节。哪怕去分母后整式方程解出了漂亮答案,也必须代回原分母检查。
去分母时漏乘"非分式项"。 例如 $\dfrac{1}{x} + 2 = 3$ ,两边乘 $x$ 后是 $1 + 2x = 3x$ ,常有人只乘到分式项而漏掉 $2$ 那项。
认错最简公分母。 多个分母需要先因式分解再取最高次幂的乘积;直接相乘的不一定最简。

前置知识点

接下来学习

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