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分式的运算

核心概念

分式四则运算的法则,与分数完全类比。

1) 乘法:分子乘分子,分母乘分母;能约分先约分。

\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}

2) 除法:乘以倒数(把除数颠倒过来变乘法)。

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}

3) 加减(同分母):分母不变,分子相加减。

\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}

4) 加减(异分母):先通分(化为相同分母),再按同分母处理。

最简公分母 = 各分母的最低公倍数,因式分解后取所有因式的最高次幂之积。

运算流程:① 因式分解所有分子分母;② 通分 / 约分;③ 计算;④ 化最简(把结果约分到底)。

直观理解 · 动手试试

分式运算的难点不在公式 —— 公式跟分数一模一样;难点在因式分解和通分。

举例:计算 $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1}$ 。两分母不同,通分时找最简公分母 $(x-1)(x+1)$ :

\frac{x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}

注意:平方差公式 $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ 让分母变得更紧凑。

下面用最简单的数值分数演示通分的几何意义 —— 不同分母拼到同一刻度,再相加:

互动演示1/a + 1/b 的通分:把不同分母变成相同分母

1/3

1/4

↓ 通分到 ab

4/12

3/12

↓ 相加

7/12

1/3 + 1/4=4/12 + 3/12=7/12

a:3

b:4

异分母分式相加 = **通分** + 加分子。最简公分母通常是各分母的最小公倍数(这里取 ab)。每一份的大小变小了 (1/ab),但用更多份表达,总量不变。

例题 1分式乘法

计算 $\dfrac{6}{x^2 - 4} \cdot \dfrac{x + 2}{2}$ 。

互动演示分式乘法：先分解，再约分

原式

第 1 / 4 步

分式乘法的关键是先因式分解，把能约的公因式约掉，结果才是最简。

▸查看解答步骤

答: 3/(x − 2)。

例题 2异分母加法

计算 $\dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 1}$ 。

互动演示异分母加法：通分到同一个分母

异分母，先通分

第 1 / 4 步

通分 = 把每个分式都改写成同一个公分母，再把分子相加。分母乘出来记得保留乘积形式。

▸查看解答步骤

答: (2x)/(x² − 1)。

即时练习

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{c} =$ ?

\dfrac{ab}{bc}

\dfrac{a}{c}

\dfrac{a + b}{b + c}

\dfrac{a^2}{c^2}

分子乘分子、分母乘分母得 $\dfrac{ab}{bc}$ ,约去公因式 $b$ ,化简为 $\dfrac{a}{c}$ 。

$\dfrac{2}{x} \div \dfrac{4}{x^2} =$ ?

\dfrac{8}{x^3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{x}{2}

\dfrac{2}{x^2}

除以 $\dfrac{4}{x^2}$ 等价于乘 $\dfrac{x^2}{4}$ : $\dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{2x^2}{4x} = \dfrac{x}{2}$ 。

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{x + y}$ 。

错!异分母加法必须先通分: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{y + x}{xy} = \dfrac{x + y}{xy}$ ,不是 $\dfrac{2}{x+y}$ 。

计算 $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x - 1}$ 的结果是?

\dfrac{x - 1}{x - 1}

即

1

1

(注:

x \neq 1

)

\dfrac{x}{1}

即

x

\dfrac{x - 1}{2(x - 1)}

同分母直接相减: $\dfrac{x - 1}{x - 1} = 1$ (只要 $x \neq 1$ )。

易错点

异分母直接合并分子。 $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \neq \dfrac{2}{x+y}$ 。必须先通分才能相加减。
除法忘记倒数。 $\dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D}$ 要变成 $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$ ;颠倒除数而不是被除数。
约分约到分子的"项"上。 只能约公因式(因式必须是乘的一部分),不能约项。例如 $\dfrac{x + 1}{x}$ 不能约成 $\dfrac{1 + 1}{1} = 2$ —— 因为 $x$ 不是分子里"乘"出来的因子。

下一步

前置知识点

分式

接下来学习

分式方程