入门≈ 14 分钟未开始

多边形及其内角和

核心概念

多边形:在同一平面内,由不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形。

$n$ 边形有 $n$ 个顶点、 $n$ 条边、 $n$ 个内角( $n \geq 3$ )。
正多边形:各边相等,各内角也相等的多边形。

$n$ 边形内角和公式:

\text{内角和} = (n - 2) \times 180^\circ

由来:从一个顶点出发,可以把 $n$ 边形分割成 $n - 2$ 个三角形,每个三角形内角和 $180^\circ$ 。

$n$ 边形外角和恒为 $360^\circ$ —— 与 $n$ 无关。

(每个顶点取一个外角, $n$ 个外角之和总等于 $360^\circ$ 。)

正 $n$ 边形的每个内角:

\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}

直观理解 · 动手试试

为什么 $n$ 边形的内角和是 $(n-2) \times 180^\circ$ ?选一个顶点向其他不相邻顶点连对角线,可以把 $n$ 边形切成 $n - 2$ 个不重叠的三角形 —— 每个三角形贡献 $180^\circ$ ,加起来正好。

外角和 $= 360^\circ$ 与边数无关,这一点很神奇。可以这样想:沿着多边形走一圈再回到起点,每经过一个顶点,你的方向就转了一个外角;走完一整圈,总共转了 $360^\circ$ 。

拖动下方滑块,观察从顶点 0 出发的 $(n-2)$ 条对角线如何把多边形切成 $(n-2)$ 个三角形:

互动演示

正 n 边形的三角剖分与内角和

n = 5

n = 5 | 三角形数 = n − 2 = 3

内角和 = (n − 2) × 180° = (5 − 2) × 180° = 540°

外角和 = 360° (恒定,与 n 无关)

从一个顶点出发画 (n − 2) 条对角线,把 n 边形切成 (n − 2) 个三角形 —— 每个三角形 180°。

例题 1求五边形内角和

求五边形( $n = 5$ )的内角和。

互动演示内角和 = (n−2)×180°：拆成 (n−2) 个三角形

边数 n = 5

从一个顶点拉对角线 → 3 个三角形

内角和 = (5−2)×180° = 540°

边数 n = 5

从一个顶点出发的对角线，把 n 边形分成 n−2 个三角形，每个 180°。五边形 → 3 个三角形 → 540°。

▸查看解答步骤

答: 540°。

例题 2由内角和反求边数

某多边形内角和等于 $1440^\circ$ ,求它的边数 $n$ 。

互动演示由内角和反求边数：n = 内角和 ÷ 180° + 2

内角和 = 1440°

1440 ÷ 180 = 8 → n = 8 + 2 = 10

10 边形（本题答案）

内角和 = 1440°（拖动）

反解：先 ÷180 得到 (n−2)，再 +2 得边数。1440 ÷ 180 = 8 → n = 10，十边形。

▸查看解答步骤

答: n = 10,即十边形。

即时练习

六边形的内角和是多少度?

$(6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$ 。

一个正多边形的每个内角都是 $108^\circ$ ,它是几边形?

正四边形正五边形正六边形正八边形

设正 $n$ 边形,每个内角 $\dfrac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} = 108^\circ$ 。解得 $180n - 360 = 108n$ , $72n = 360$ , $n = 5$ 。

任何凸多边形外角和都等于 $360^\circ$ ,与边数无关。

这是外角和定理。沿多边形外缘走一圈,方向旋转 $360^\circ$ 。

某多边形内角和是 $1260^\circ$ ,求它的边数。

$(n - 2) \cdot 180^\circ = 1260^\circ$ , $n - 2 = 7$ , $n = 9$ 。

易错点

把公式记成 $n \times 180^\circ$ 。 正确公式是 $(n - 2) \times 180^\circ$ —— 比三角形(n=3, 180°)多一边就多 180°,从这种规律记不易错。
以为外角和与边数有关。 不论 $n$ 是多少,凸多边形外角和恒为 $360^\circ$ 。
求正多边形每个内角时漏除 $n$ 。 内角和是全部内角之和;要求每个得再除以顶点数 $n$ 。

下一步

前置知识点

与三角形有关的角

接下来学习

全等三角形