数学课堂
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全等三角形

核心概念

如果两个三角形能经过平移、旋转、翻折完全重合,我们就说它们是全等三角形(congruent triangles)。

全等用符号 "≅\cong" 表示:

△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

关键约定:写全等记号时,顶点必须按对应顺序书写。上式表示:

  • 对应顶点:A↔D, B↔E, C↔FA \leftrightarrow D,\ B \leftrightarrow E,\ C \leftrightarrow F;
  • 对应边相等:AB=DE, BC=EF, CA=FDAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD;
  • 对应角相等:∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F\angle A = \angle D,\ \angle B = \angle E,\ \angle C = \angle F。

全等三角形所有对应元素(边、角、中线、高、角平分线、面积、周长……)都相等。

直观理解 · 动手试试

"全等"就是"一模一样"——把一个三角形剪下来,经过翻转、转动、平移之后能严丝合缝地盖在另一个上面。

但要写出 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF 这种记号时,字母顺序很重要。它隐含了对应关系:第 1 个对第 1 个,第 2 个对第 2 个,第 3 个对第 3 个。换了顺序,后续推出来的"对应边/角"就全错。

下面把鼠标放在任意顶点或边上,看两个三角形里对应部分同时高亮:

互动演示全等三角形:对应顶点、对应边、对应角
ADBECF△ABC△DEF

△ABC ≅ △DEF。顶点书写顺序确定对应关系:A↔D、B↔E、C↔F。鼠标悬停/点击任意配对,两个三角形上的对应部分同时高亮。对应角:∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F。

例题 1找对应边和对应角

已知 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF。求 BCBC 的对应边和 ∠A\angle A 的对应角。

互动演示△ABC ≅ △DEF —— 按顶点顺序找对应
ABCDEF
边 BC 的对应 边是 EF

关键看全等记号里的顶点顺序：A↔D、B↔E、C↔F。边 BC 由 B、C 决定，对应到 E、F → EF。

▸查看解答步骤

答: 对应边 BC = EF;对应角 ∠A = ∠D。

例题 2利用全等求未知边

已知 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF,BC=6, AB=5, ∠A=50∘BC = 6,\ AB = 5,\ \angle A = 50^\circ。求 EFEF。

互动演示全等 → 对应边相等，把已知值"搬"过去
△ABC（已知）
BC = 6
AB = 5
∠A = 50°
△DEF（求 EF）
EF = ?
DE = 5
∠D = 50°

全等三角形对应边相等、对应角相等。先按顶点顺序找到 BC 的对应边 EF，再直接搬数值：EF = 6。

▸查看解答步骤

答: EF = 6。

即时练习

已知 △ABC≅△MNP\triangle ABC \cong \triangle MNP,则 ∠B\angle B 的对应角是?

∠M\angle M∠N\angle N∠P\angle P无对应

对应顺序 A→M, B→N, C→PA \to M,\ B \to N,\ C \to P,所以 ∠B\angle B 对应 ∠N\angle N。

    △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF,AB=8, BC=5, CA=7AB = 8,\ BC = 5,\ CA = 7。求 DEDE 的长。

    AB↔DEAB \leftrightarrow DE,所以 DE=AB=8DE = AB = 8。

    若 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF,则一定有 AC=DEAC = DE。

    对应关系是 A→D, C→FA\to D,\ C\to F,所以 ACAC 对应 DFDF,不是 DEDE。DEDE 对应的是 ABAB。

    下列关于全等三角形的说法,错误的是?

    全等三角形对应角相等全等三角形对应边相等全等三角形面积相等面积相等的两个三角形一定全等

    面积相等只能说明"大小一样",形状未必相同,例如底 ×\times 高 相等的两个不同形状三角形面积也相等,却不全等。

      易错点

      • 写全等记号时不按对应顺序排字母。 写成 △ABC≅△EFD\triangle ABC \cong \triangle EFD 而实际对应 A→DA \to D,会让后续每一步推理都错。
      • 混淆"对应边"和"相邻边"。 对应边是由全等记号的字母顺序决定的,不要凭"位置看起来像"判断。
      • 以为相似就是全等。 相似只要求形状相同(对应角相等、对应边成比例),全等还要求大小也相同(对应边相等)。

      下一步