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角平分线的性质

核心概念

角平分线:从角的顶点出发,把这个角平分为两个相等部分的射线。

性质定理(正定理):角平分线上的点到角两边的距离(即垂线段长度)相等。

若 $OP$ 平分 $\angle AOB$ , $P$ 到 $OA$ 的距离 $= P$ 到 $OB$ 的距离。

判定定理(逆定理):在角的内部,到角两边距离相等的点,一定在该角的平分线上。

若 $P$ 在 $\angle AOB$ 内部,且 $P$ 到 $OA$ 与到 $OB$ 距离相等,则 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上。

证明思路:两条垂线段长度相等,加上公共斜边 $OP$ 和两个直角,可以构造两个直角三角形并用 HL 判定全等,进而得 $\angle AOP = \angle BOP$ 。

应用:三角形三条角平分线相交于一点,该点称为内心 —— 它到三角形三边距离相等(可作内切圆的圆心)。

直观理解 · 动手试试

"到两条直线距离相等"这一几何描述,等价于"在两条直线所夹角的平分线上"。这是一个直观但有用的对应:几何位置(在平分线上) ↔ 距离条件(两边距离等)。

性质和判定是一对互逆命题:

性质:平分线 → 距离相等;
判定:距离相等 → 平分线。

拖动下面的 P,验证两条垂线距离始终相等(性质);切到"自由拖动",看离开平分线后等式立刻破坏:

互动演示角平分线 — 拖动 P 看两条距离自由拖动 P

P 沿角平分线移动:

|PM| 到 OA

76.1

|PN| 到 OB

76.1

两距离

✓ 相等

关闭"自由拖动"时,P 始终在角平分线上 → 两条垂线距离 PM = PN(性质)。打开自由拖动时,P 一旦离开平分线,等式立刻打破。

例题 1角平分线性质求距离

$OP$ 平分 $\angle AOB$ ,点 $P$ 到 $OA$ 的距离为 $3$ 。求 $P$ 到 $OB$ 的距离。

互动演示角平分线上的点，到两边距离相等

P 到 OA 的距离 = P 到 OB 的距离 = 7

移动 P：

角平分线性质：线上任意一点到角两边的距离都相等。P 在平分线上移动，两条绿/红垂线段始终一样长。

▸查看解答步骤

答: P 到 OB 的距离也是 3。

例题 2证明三角形角平分线

在 $\angle AOB$ 内部有一点 $P$ ,过 $P$ 作 $PM \perp OA$ 于 $M$ , $PN \perp OB$ 于 $N$ 。已知 $PM = PN$ 。证明 $P$ 在 $\angle AOB$ 的平分线上。

互动演示逆定理：到两边等距 ⇒ 在平分线上（HL 证明）

PM ⊥ OA、PN ⊥ OB，且 PM = PN（已知）

第 1 / 4 步

这是性质定理的逆命题：用公共斜边 OP + 两条相等直角边 PM=PN，靠 HL 得全等，从而推出 OP 平分该角。

▸查看解答步骤

答: 由 HL + 全等推出 OP 平分 ∠AOB。

即时练习

$P$ 在 $\angle AOB$ 平分线上, $P$ 到 $OA$ 距离为 $5$ ,则 $P$ 到 $OB$ 距离为?

2.5

5

10

不一定

角平分线上的点到两边距离相等,所以也是 $5$ 。

到角的两边距离相等的点(且在角的内部),一定在该角的平分线上。

这是角平分线的判定定理(性质的逆命题)。

三角形三条角平分线的交点叫?

外心内心重心垂心

三角平分线交于内心 —— 该点到三边距离相等,是内切圆圆心。

$\triangle ABC$ 中, $AD$ 是 $\angle A$ 的平分线, $D$ 到 $AB$ 的距离为 $4$ ,则 $D$ 到 $AC$ 的距离是多少?

由角平分线性质, $D$ 到 $\angle A$ 两边( $AB$ 和 $AC$ )的距离相等,都是 $4$ 。

易错点

把"距离"理解成斜线段。 点到直线的距离指的是垂线段长度,不是任何一条连接线段。
忽略"角内部"条件。 判定定理要求点必须在角的内部 —— 角的外部即便满足距离条件,也可能在另一对外角的平分线上。
混用性质和判定。 性质是"已知在平分线上 ⇒ 距离相等";判定是"距离相等 ⇒ 在平分线上"。题目给的条件不同,用法不同。

下一步

前置知识点

全等三角形的判定

接下来学习

轴对称