数学课堂
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与三角形有关的角

核心概念

三角形内角和定理:三角形的三个内角之和等于 180∘180^\circ。

∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ

外角定义:把三角形的一条边延长得到的、与该顶点的内角相邻的角,叫这个顶点处的外角。

外角性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

∠ACD=∠A+∠B(∠ACD 是 △ABC 在 C 处的外角)\angle ACD = \angle A + \angle B \quad (\angle ACD \text{ 是 } \triangle ABC \text{ 在 } C \text{ 处的外角})

推论:三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

直观理解 · 动手试试

把三角形的三个角"剪下来拼在一起",你会发现它们正好拼成一条直线 —— 也就是 180∘180^\circ。这是为什么三角形内角和恒为 180∘180^\circ 的直观解释。

而外角 = 不相邻的两个内角之和,可以这样想:外角 + 同顶点的内角 = 180∘180^\circ(平角);内角和 = 180∘180^\circ,两式相减,就得到那个外角等于另外两个内角之和。

∠AOB = 60°锐角
60°AOB
提示:拖动 B 改变角度,在 90° / 180° / 270° 附近会自动吸附。
例题 1已知两个内角,求第三个

△ABC\triangle ABC 中,∠A=40∘, ∠B=65∘\angle A = 40^\circ,\ \angle B = 65^\circ。求 ∠C\angle C。

互动演示三角形内角和 = 180°
BCA
∠A = 40°
∠B = 65°
∠C = 180° − 40° − 65° = 75°

三个内角之和恒为 180°。已知两个就能求第三个：∠C = 180° − ∠A − ∠B。本题 180−40−65 = 75°。

▸查看解答步骤

答: ∠C = 75°。

例题 2用外角求内角

△ABC\triangle ABC 中,∠B=60∘\angle B = 60^\circ,∠ACB\angle ACB 的外角 ∠ACD=110∘\angle ACD = 110^\circ。求 ∠A\angle A。

互动演示外角 = 两个不相邻内角之和
A 50°B 60°C110°
外角 ∠ACD = ∠A + ∠B = 50° + 60° = 110°
相邻内角 ∠ACB = 180° − 110° = 70°

三角形的一个外角 = 与它不相邻的两个内角之和。本题 ∠ACD = 110° = ∠A + 60° → ∠A = 50°。

▸查看解答步骤

答: ∠A = 50°。

即时练习

△ABC\triangle ABC 中,∠A=70∘, ∠B=50∘\angle A = 70^\circ,\ \angle B = 50^\circ,∠C\angle C 等于多少度?(只填数字)

∠C=180∘−70∘−50∘=60∘\angle C = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ。

直角三角形中,两个锐角的关系是?

互余,和为 90°互补,和为 180°相等,各为 45°无确定关系

直角 90∘90^\circ + 两锐角 =180∘= 180^\circ,所以两锐角和为 90∘90^\circ,即互余。

    一个三角形最多只能有 1 个直角。

    若有 2 个直角,两角之和已是 180∘180^\circ,第三个角只能是 0∘0^\circ,无法构成三角形。

    △ABC\triangle ABC 中,∠A=80∘, ∠B=40∘\angle A = 80^\circ,\ \angle B = 40^\circ。∠C\angle C 的外角为多少度?

    ∠C=180∘−80∘−40∘=60∘\angle C = 180^\circ - 80^\circ - 40^\circ = 60^\circ。∠C\angle C 的外角 =180∘−60∘=120∘= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ。也可直接用外角定理:外角 =80∘+40∘=120∘= 80^\circ + 40^\circ = 120^\circ。

    易错点

    • 算外角时漏掉"不相邻"。 外角等于另外两个内角(不与它相邻的)之和,不要把相邻那个也加上。
    • 忘记三角形内角和恒为 180°。 不论形状大小,三角形内角和始终是 180∘180^\circ,这是出发点。
    • 把外角和内角写反。 同一顶点处:内角 + 外角 = 180∘180^\circ(平角)。

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