数学课堂
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与三角形有关的线段

核心概念

三角形 是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形。

  • 三个顶点:记作 A, B, CA,\ B,\ C;
  • 三条边:AB, BC, CAAB,\ BC,\ CA(或简记为 c, a, bc,\ a,\ b,其中 aa 是 ∠A\angle A 的对边);
  • 三个内角:∠A, ∠B, ∠C\angle A,\ \angle B,\ \angle C。

三角形三边关系 (triangle inequality):

  • 任意两边之和大于第三边:a+b>ca + b > c;
  • 任意两边之差小于第三边:∣a−b∣<c|a - b| < c。

这两条其实是同一个事实的两种说法。

三角形中的三条重要线段:

  • 中线:从顶点到对边中点的线段(三角形有 3 条中线,交于 重心);
  • 高:从顶点向对边(或其延长线)所作的垂线段;
  • 角平分线:从顶点出发,把内角平分为两半的线段。

直观理解 · 动手试试

判断三条线段能否拼成三角形,只需要看"两条短的之和是否大于最长的一条"。如果短的两条加起来还没最长的长,它们就够不到对岸,合不拢三角形。

三角形的中线、高、角平分线都是从顶点出发的"特殊线段",但它们意义不同:中线关心中点,高关心垂直,角平分线关心角。

下面亲手拖动滑块试一试 —— 看哪些 (a,b,c)(a, b, c) 能拼出三角形,哪些不行:

互动演示

三边能否组成三角形?

a = 4
b = 5
c = 6
a + b > c (9.0 > 6)✓
a + c > b (10.0 > 5)✓
b + c > a (11.0 > 4)✓
a = 4a = 4b = 5b = 5c = 6c = 6ABC
拖动滑块改变 a, b, c。当**三条**不等式同时成立(每边 < 另两边之和),三角形才能拼出。
例题 1判断 3, 4, 8 能否组成三角形

判断长度为 3, 4, 83,\ 4,\ 8 的三条线段能否组成一个三角形。

互动演示三条线段能拼成三角形吗？
最长边 8够不着，合不拢
两短边之和 3 + 4 = 7 ≤ 8 ✗ 不能组成

三角不等式：任意两边之和必须大于第三边。只需检验两条最短边之和vs 最长边。3+4=7 < 8，拼不成。

▸查看解答步骤

答: 不能。

例题 2求第三边的取值范围

△ABC\triangle ABC 中,AB=5, AC=8AB = 5,\ AC = 8。求边 BCBC 的取值范围。

互动演示第三边 BC 的取值范围（AB=5, AC=8）
31303691215
BC = 6：在 (3, 13) 内 ✓ 能构成三角形

第三边范围：两边之差 < BC < 两边之和，即 |8−5| < BC < 8+5 → 3 < BC < 13（两端取不到）。

▸查看解答步骤

答: 3 < BC < 13。

即时练习

下列各组线段中,能组成三角形的是?

1, 2, 32, 2, 53, 4, 54, 5, 10

检验"两短边之和 > 最长边":1+2=31+2=3 不满足;2+2=4<52+2=4 < 5 不满足;3+4=7>53+4=7 > 5 满足;4+5=9<104+5=9 < 10 不满足。

    △ABC\triangle ABC 中,AB=6, AC=4AB = 6,\ AC = 4,且第三边 BCBC 的长度为偶数。BCBC 最大可能取多少?

    由三边关系 ∣6−4∣<BC<6+4|6-4| < BC < 6+4,即 2<BC<102 < BC < 10。偶数取值有 4, 6, 84,\ 6,\ 8,最大偶数为 88 —— 等等,这里题目让我们填整数解中最大的偶数,实际是 88。再检:可允许 BC∈{3,4,5,6,7,8,9}BC \in \{3,4,5,6,7,8,9\},其中最大偶数 88。

    三角形的高一定在三角形的内部。

    对于锐角三角形,三条高都在内部;但钝角三角形钝角所对那条边的高需要延长对边,高位于三角形外部。直角三角形的两条直角边互为高。

    三角形的三条中线交于一点,这个点叫?

    外心内心重心垂心

    三中线交于重心;三高交于垂心;三角平分线交于内心;三边垂直平分线交于外心。

      易错点

      • 只检查一条三角不等式。 严格说要看"两短边之和 > 最长边"。其余两条由此自动成立,只查这一条即可。
      • 把"中线"和"高"混淆。 中线终点是对边中点,不要求垂直;高终点不一定是中点,但要求垂直对边。
      • 钝角三角形的高画不出来。 钝角对应的高线落在三角形外,需要延长对边才能画。

      下一步

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