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二元一次方程组

核心概念

二元一次方程:含两个未知数,且未知数的次数都是 1 的方程,例如 $x + y = 5$ 、 $2x - 3y = 4$ 。

二元一次方程组:把两个二元一次方程联立起来,记作:

\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}

方程组的解:能同时满足两个方程的一对 $(x, y)$ 值,叫这个方程组的解。

几何意义:每个二元一次方程的所有解,在坐标系里都是一条直线;方程组的解 = 两条直线的交点坐标。

一个二元一次方程有无数组解(代入随便一个 $x$ 都能解出 $y$ )。但当两个方程同时要满足时,通常只剩一组满足条件的解 —— 也就是两条直线的交点。

把二元方程组当成"两个条件 → 找一对数字"的谜题去看,会很自然。

斜率 k1.5

截距 b-1.0

试试:拖动 k 改变陡峭程度,拖动 b 让直线整体上下移动。

例题 1检验是否是解

判断 $x = 2, y = 3$ 是不是方程组 $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ 的解。

互动演示检验解：必须同时满足两个方程

① x + y = 52 + 3 = 5✓

② 2x − y = 14 − 3 = 1✓

(2, 3) 是方程组的公共解 ✓

x = 2

y = 3

方程组的解是两式的公共解。只满足其中一个不算 —— 试着拖到只有一个 ✓ 的情况看看。

▸查看解答步骤

答: 是,(2, 3) 是方程组的解。

例题 2写出二元一次方程的几组解

写出方程 $x + y = 4$ 的至少 3 组整数解。

互动演示x + y = 4 有无数组解 —— 一整条直线

取 x = 1 → y = 4 − 1 = 3

整数解举例：(0,4)、(1,3)、(2,2)、(3,1)、(4,0) …

拖动 x：

单个二元一次方程的解落在一整条直线上（无数组）。只有再加一个方程（另一条直线）联立，才会锁定交点。

▸查看解答步骤

答: (0, 4), (1, 3), (2, 2), …

下列哪个是二元一次方程? $x^2 + y = 4$ $3x - y = 7$ $xy = 6$ $x + 2 = 5$ $x^2$ 次数为 2, $xy$ 次数为 2, $x + 2 = 5$ 只含一个未知数。只有 $3x - y = 7$ 符合"两元、一次"。

方程组 $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$ 的解是 $(3, 1)$ 。代入验证: $3 + 1 = 4$ ✓, $3 - 1 = 2$ ✓。

若 $\begin{cases} x = 2 \\ y = ? \end{cases}$ 是方程 $x + y = 8$ 的解,则 $y =$ ? 代入: $2 + y = 8 \Rightarrow y = 6$ 。

若两条直线平行,对应的二元一次方程组的解的情况是? 有唯一解无解有无穷多解不确定平行 = 永不相交 = 没有公共点 = 方程组无解。

前置知识点

接下来学习