数学课堂junior · 初中

入门≈ 12 分钟未开始

坐标系的简单应用

核心概念

坐标系给了我们一种用数字描述位置和移动的语言。两个典型应用:

(1) 用坐标表示地理位置: 把校园、地图、操场建成一个坐标系,任何点都可以用 $(x, y)$ 表示。这就是"经纬度"思想的初级版本。

(2) 用坐标表示平移: 把图形整体地朝某个方向移动一段距离,叫平移。在坐标系中:

把点 $(x, y)$ 向右平移 $a$ 个单位 → $(x + a, y)$
向左 $a$ 个单位 → $(x - a, y)$
向上 $b$ 个单位 → $(x, y + b)$
向下 $b$ 个单位 → $(x, y - b)$

平移只改变位置,不改变形状、大小、方向。

直观理解 · 动手试试

拖动下面的点,观察它落在哪个象限或哪条轴上 —— 然后想象一下,如果整个图形(由几个点构成)按同样规则移动,所有点的坐标会怎么变。

互动演示

平面直角坐标系 — 点击放置一个点

最近放置的点

(3, 2)

第一象限

所有点 (1)

(3, 2)第一象限

点击坐标系任意位置放置一个点(坐标按 0.5 单位对齐)。象限根据 (x, y) 的符号自动判定。

直观感受:整个图形平移 = 所有顶点按同样规则改坐标。

例题 1坐标找位置

某游乐园用坐标表示出入口位置,大门 $A(0, 0)$ ,过山车 $B(3, 4)$ ,旋转木马 $C$ 在大门东 3 个单位、北 2 个单位。请写出 $C$ 的坐标。

互动演示方位 → 坐标：东为 +x，北为 +y

东(+) / 西(−)：3

北(+) / 南(−)：2

旋转木马 C = (3, 2)

从大门 A(0,0) 向东 3、向北 2 → C(3, 2)。方位词要先翻译成正负方向：东/北为正，西/南为负。

▸查看解答步骤

答: C(3, 2)

例题 2平移坐标计算

把点 $P(2, 3)$ 先向左平移 4 个单位,再向下平移 5 个单位,求平移后的坐标。

互动演示连续平移：左/右改 x，上/下改 y

路径：(2,3)

例题：(2,3) 向左 4、向下 5 → (−2,−2)。左右只动横坐标 x，上下只动纵坐标 y，一步步累加。

▸查看解答步骤

答: (-2, -2)

即时练习

点 $A(3, -2)$ 向左平移 5 个单位后的坐标是? $(8, -2)$ $(-2, -2)$ $(3, -7)$ $(3, 3)$ 向左平移只改变 $x$ : $3 - 5 = -2$ , $y$ 不变。

点 $B(2, 1)$ 平移后变成 $(7, 1)$ ,则向右平移了几个单位? $y$ 没变 → 只是水平方向移动。 $\Delta x = 7 - 2 = 5$ 。

平移只改变图形位置,不改变它的形状和大小。这是平移的核心性质 —— 全等变换。

把点 $(-1, 4)$ 向右 3 单位、向下 6 单位,新坐标是哪个? $(-4, 10)$ $(2, 10)$ $(2, -2)$ $(-4, -2)$ $x: -1 + 3 = 2$ , $y: 4 - 6 = -2$ 。

易错点

把"向左"误以为是 $x$ 增加 —— 向左是 $x$ 减少
把"向下"误以为是 $y$ 增加 —— 向下是 $y$ 减少
平移时把 $x, y$ 同时都改 —— 只改对应方向的那一个坐标

下一步

前置知识点

平面直角坐标系

接下来学习

二元一次方程组