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消元 — 解二元一次方程组

核心概念

解二元一次方程组的核心思路是消元 —— 把两个未知数变成一个未知数,再用一元一次方程的方法解。常用两种方法:

(1) 代入消元法:从一个方程解出一个未知数(用另一个未知数表示),代入另一个方程,得到只含一个未知数的方程。

(2) 加减消元法:把两个方程的两边对应相加或相减,使其中一个未知数的系数相反或相同,从而消去它。当两个方程中某个未知数的系数互为相反数 → 相加;系数相同 → 相减。如果系数既不相反也不相同,先通过乘以适当的数把它们变成相反或相同,再加减。

两种方法都可以解任何二元一次方程组,选哪种取决于哪种更方便。

直观理解 · 动手试试

观察下面的逐步消元演示 —— 真正的关键是"用一个方程修改另一个方程",让两个方程中的某个未知数消失,问题就降回了一元一次方程。

互动演示

加减消元法 — 一步步解二元一次方程组

原方程组

目标:消去一个未知数,把二元转化为一元。

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消元法的本质 = 消除一个未知数,把二元方程组转化为一元方程。可以用 加减法(本例),也可以用 代入法。

提示:加减法适合系数已经凑好的方程组(比如 $x$ 或 $y$ 系数相同/相反);代入法适合其中一个方程已经写成 $y = \ldots x + \ldots$ 形式的情况。

例题 1代入消元法

解 $\begin{cases} y = x + 1 \quad (1) \\ 2x + y = 7 \quad (2) \end{cases}$ 。

互动演示代入消元法

方程 (1) 已把 y 单独表示

第 1 / 5 步

代入法的关键：先把一个未知数单独表示，再代入另一式，把二元降成一元。

▸查看解答步骤

答: x = 2, y = 3

例题 2加减消元法

解 $\begin{cases} 2x + 3y = 11 \quad (1) \\ 2x - 3y = -1 \quad (2) \end{cases}$ 。

互动演示加减消元法

x 系数都是 2，y 系数相反 (+3, −3)

第 1 / 5 步

系数相同就相减、相反就相加，消去一个未知数。系数不齐时，先乘适当倍数凑齐。

▸查看解答步骤

答: x = 2.5, y = 2

即时练习

用代入法解 $\begin{cases} y = 2x \\ x + y = 6 \end{cases}$ ,代入后得到的一元一次方程是? $2x + y = 6$ $x + 2x = 6$ $y + y = 6$ $x + y = 12$ 把 $y = 2x$ 代入 $x + y = 6$ ,得到 $x + 2x = 6$ 。

方程组 $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ 中 $x$ 的值是? 两式相加: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ 。

如果两个方程中的两个未知数的系数都不相同也不相反,就不能用加减消元法。错。可以先乘以适当的数让某个未知数系数变成相同或相反,再加减。

解 $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$ , $x$ 等于多少? 两式相加消 $y$ : $5x = 10 \Rightarrow x = 2$ 。

易错点

加减时只把等号一边相加 —— 等号两边都必须运算
代入时把代回的方程仍写成 $y$ ,产生循环 —— 应代到另一个方程
解出一元后忘记回代求另一个未知数 —— 解必须是一对 $(x, y)$

下一步

前置知识点

二元一次方程组

接下来学习

实际问题和二元一次方程组