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从算式到方程

核心概念

方程:含有未知数的等式叫做方程。"含未知数" 和 "等式" 缺一不可。

$3 + 5 = 8$ :是等式,但没有未知数,所以不是方程;
$3x + 2$ :含未知数,但没有等号,所以不是方程;
$3x + 2 = 7$ :既有未知数 $x$ ,又是等式,是方程。

一元一次方程:满足以下三点的方程叫做一元一次方程:

只含一个未知数( $x$ );
未知数的最高次数为 $1$ ;
等号两边都是整式。

方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值。检验方法是把这个值代回原方程,两边相等就是解。

列方程的关键:找出题目中的等量关系(同一量从两个角度计算或两个量相等),把它写成等式。

直观理解 · 动手试试

算式只回答 "已知量怎样算出未知结果"。方程不一样 —— 它先把要求的东西用字母代替,然后用题目里的等量关系倒推回去。这等于把问题 "翻译" 成一句数学等式。

学会列方程,意味着你看任何文字题都能问自己:"这里有什么东西相等?" —— 这是初中代数最关键的思维转变。

等式两边做相同操作,等号始终成立。

例题 1判断 3x + 2 = 7 是不是一元一次方程

判断 $3x + 2 = 7$ 是否为一元一次方程。

互动演示是不是一元一次方程？逐条核对

① 是等式（有等号）✓

② 含未知数✓

③ 只含一个未知数✓

④ 未知数最高次为 1✓

✓ 是一元一次方程

四个条件缺一不可：没有等号的是代数式，二次的、含两个未知数的都不算。

▸查看解答步骤

答: 是

例题 2检验 x = 3 是不是 2x − 1 = 5 的解

检验 $x = 3$ 是否为方程 $2x - 1 = 5$ 的解。

互动演示检验解 —— 把 x 代回 2x − 1 = 5

左边 2x − 1

2 × 3 − 1

右边

✓ 两边相等，x = 3 是解

试代入 x =3

检验一个值是不是解：代入左边完全化简，再与右边比较。只有 x = 3 能让两边都等于 5。

▸查看解答步骤

答: 是

即时练习

下列各式中是一元一次方程的是?

3x + 2

x^2 + 1 = 0

2x - 5 = 7

2x + 3y = 1

$3x + 2$ 没有等号; $x^2 + 1 = 0$ 是二次的; $2x + 3y = 1$ 含两个未知数。只有 $2x - 5 = 7$ 满足所有条件。

$x = 2$ 是方程 $3x - 1 = 8$ 的解。

代入左边: $3 \times 2 - 1 = 5 \neq 8$ ,所以 $x = 2$ 不是解(正确的解是 $x = 3$ )。

设某数加 $7$ 等于 $12$ ,设这个数为 $x$ ,根据题意列出的方程是 $x + 7 = 12$ 。它的解是 $x =$ ?

两边同减 $7$ : $x = 12 - 7 = 5$ 。

某数的 $3$ 倍比它大 $4$ ,设这个数为 $x$ ,正确的方程是?

3x = x - 4

3x = x + 4

3x + 4 = x

x + 3 = 4

" $3$ 倍 = 它本身 + $4$ " 翻译为 $3x = x + 4$ 。

易错点

把代数式当方程。 $3x + 2$ 没有等号,不是方程;含等号的才能称之为方程。
列方程时把 "比……多/少" 写反。 " $A$ 比 $B$ 多 $5$ " 等价于 $A = B + 5$ ,不是 $A + 5 = B$ 。
以为只要代入两边数值相等就是解,不化简就妄下结论。 必须把左边代入完全化简后再与右边对比。

下一步

前置知识点

整式加减

接下来学习

解一元一次方程