数学课堂
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解一元一次方程

核心概念

等式的性质:

  1. 等式两边同加(或同减)同一个数或整式,结果仍是等式。
  2. 等式两边同乘同一个数,或同除以同一个非零数,结果仍是等式。

利用这两条性质可以把方程逐步化简,直到得到 x=x = 某数。

解一元一次方程的一般步骤:

  1. 去分母:两边同乘各分母的最小公倍数(每一项都要乘,别漏整数项);
  2. 去括号:利用乘法分配律和去括号法则;
  3. 移项:把含未知数的项移到等号一边,常数项移到另一边。移项要变号;
  4. 合并同类项:化简成 ax=bax = b 的形式;
  5. 系数化为 11:两边同除以 aa(a≠0a \neq 0),得 x=bax = \dfrac{b}{a}。

不是每一步都必须做,但顺序不能乱。

直观理解 · 动手试试

把方程想成 "天平":左右两边重量始终相等。等式性质就是允许的操作 —— 同时加同样的砝码、同时拿走相同质量、同时放大相同倍数。整套步骤的目标只有一个:让天平的一侧只剩一个 "xx",另一侧就是答案。

"移项变号" 不是规则,而是 "同减同一个数" 的速记 —— 把 +3+3 移到右边变成 −3-3,等价于左右两边同时减去 33。

xx11111111111111左盘右盘
等式两边做相同操作,等号始终成立。
例题 1解 2x + 3 = 11

解方程 2x+3=112x + 3 = 11。

互动演示解 2x + 3 = 11 —— 一步步逼出 x
原方程
第 1 / 4 步
▸查看解答步骤

答: x = 4

例题 2解 (x-1)/2 = (x+2)/3

解方程 x−12=x+23\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{x+2}{3}。

互动演示去分母：两边同乘最小公倍数
原方程，分母是 2 和 3
第 1 / 5 步

去分母时每一项都要乘最小公倍数（这里 6），漏乘任何一项都会出错。乘完分子要记得加括号。

▸查看解答步骤

答: x = 7

即时练习

解方程 3x−7=83x - 7 = 8,x=x = ?

移项:3x=153x = 15;系数化 11:x=5x = 5。

解方程 5(x−1)=2x+15(x - 1) = 2x + 1,x=x = ?

去括号:5x−5=2x+15x - 5 = 2x + 1;移项:3x=63x = 6;系数化 11:x=2x = 2。

解方程 x3−1=x2\dfrac{x}{3} - 1 = \dfrac{x}{2},xx 等于?

66−3-3−6-633

两边同乘 66:2x−6=3x2x - 6 = 3x。移项:−6=x-6 = x。所以 x=−6x = -6。

    解方程时,等式两边可以同时除以任意一个非零数。

    这是等式性质 2 的内容。除数不能为 00,否则等式失去意义。

    易错点

    • 移项忘记变号。 2x+3=112x + 3 = 11 移项后是 2x=11−32x = 11 - 3,不是 2x=11+32x = 11 + 3。
    • 去分母时漏乘整数项。 x2=3\dfrac{x}{2} = 3 两边乘 22 应是 x=6x = 6,而不是 x=3x = 3。整数项也必须参与乘法。
    • 系数化为 11 时方向搞错。 −2x=6-2x = 6 应同除以 −2-2,得 x=−3x = -3,而不是 x=3x = 3。

    下一步

    前置知识点