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有理数的乘除法

核心概念

乘法法则:两数相乘,

同号得正,异号得负;
再把它们的绝对值相乘;
任何数与 $0$ 相乘都得 $0$ 。

口诀:"同号正,异号负,绝对值相乘"。

倒数:乘积是 $1$ 的两个数互为倒数。 $a$ 的倒数是 $\dfrac{1}{a}$ ( $a \neq 0$ )。 $0$ 没有倒数。

除法法则:除以一个不为零的数,等于乘以这个数的倒数。

a \div b = a \times \dfrac{1}{b} \quad (b \neq 0)

因此除法也满足 "同号得正、异号得负、绝对值相除"。

直观理解 · 动手试试

为什么 "负 $\times$ 负 = 正"?

想象 "反方向" 这个动作:把 $3$ 取相反数得 $-3$ ,再取一次相反数又回到 $3$ 。"负号" 像一面镜子,反两次就照回原样。乘法也是同理:两个负号互相抵消,只剩正号。

除法呢?除以 $b$ 就是 "还原 $b$ 倍的放大",所以等价于乘以缩小因子 $\dfrac{1}{b}$ 。

符号法则

同号得正,异号得负

口诀:同号得正,异号得负;任何数乘 0 等于 0。

试一试:拖动滑块,实时计算 a × b

b-4

负

例题 1计算 (-4) × (-3)

计算 $(-4) \times (-3)$ 。

互动演示乘法符号表 —— 同号得正，异号得负

	b +	b −
a +	+	−
a −	−	+

(-4) × (-3) = 12

同号 → 正

绝对值相乘：4 × 3 = 12

|a| = 4

|b| = 3

符号只看两个因数是否同号（表格中被高亮的格子），绝对值各自相乘。负×负落在绿格 → 得正。

▸查看解答步骤

答: 12

例题 2计算 -12 ÷ 4

计算 $-12 \div 4$ 。

互动演示除法转乘法：a ÷ b = a × (1/b)

-12÷4=-3

异号得负

除以 b（b ≠ 0）等于乘以它的倒数 1/b；符号规则与乘法相同。0 没有倒数，所以不能除以 0。

▸查看解答步骤

答: -3

即时练习

计算 $(-3) \times 5$ 。

异号相乘得负: $-(3 \times 5) = -15$ 。

计算 $(-16) \div (-4)$ 。

同号相除得正: $16 \div 4 = 4$ 。

$-\dfrac{2}{3}$ 的倒数是?

\dfrac{2}{3}

-\dfrac{3}{2}

\dfrac{3}{2}

-\dfrac{2}{3}

互为倒数的两数乘积为 $1$ 。 $-\dfrac{2}{3} \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) = 1$ 。倒数保留原符号。

$0$ 的倒数是 $0$ 。

$0$ 没有倒数,因为不存在任何数 $x$ 使 $0 \times x = 1$ 。

异号得负,

(-2) \times 3 = -6

。

易错点

认为 "负 $\times$ 负 = 负"。 两个负号相乘恰好抵消,结果一定是正。
给 $0$ 找倒数。 $0$ 是唯一一个没有倒数的有理数;遇到 $\dfrac{a}{0}$ 这种式子,务必先确认分母 $\ne 0$ 。
除法时忘记 "除数不为零"。 写 $a \div b$ 时一定要保证 $b \neq 0$ ,否则整个式子无意义。

下一步

前置知识点

有理数的加减法

接下来学习

有理数的乘方