数学课堂
入门≈ 12 分钟未开始

有理数

核心概念

有理数:整数与分数统称为有理数。

有理数={整数: …,−2,−1,0,1,2,…分数: 12, −34, 0.7, …\text{有理数} = \begin{cases} \text{整数:}\ \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots \\ \text{分数:}\ \dfrac{1}{2},\ -\dfrac{3}{4},\ 0.7,\ \ldots \end{cases}

数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素缺一不可。

相反数:只有符号不同的两个数互为相反数,如 55 与 −5-5,23\dfrac{2}{3} 与 −23-\dfrac{2}{3}。00 的相反数是 00。

绝对值:数 aa 在数轴上对应点到原点的距离,记作 ∣a∣|a|。

∣a∣={a,a>00,a=0−a,a<0|a| = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}

绝对值总是非负的:∣a∣≥0|a| \ge 0。

直观理解 · 动手试试

数轴像一把无限长的尺,把每一个有理数放到自己的位置上。相反数是关于原点对称的一对点,而绝对值就是 "这个数离原点有多远",不分方向。

理解这两个概念后,以后比较大小、做加减法就不再靠死记符号,而是靠 "在数轴上往哪个方向走、走多远" 的直觉。

零
-10-8-6-4-202468100
提示:拖动黄色圆点,或点击数轴上的任意位置移动到那里。
例题 1在数轴上标出 -3, 0, 2.5

请在数轴上标出 −3-3、00 和 2.52.5 三个点。

互动演示在数轴上标出 −3、0、2.5
正方向-5-4-3-2-1012345单位长度

数轴三要素：原点（0）、正方向（向右）、单位长度。三点位置自然给出 −3 < 0 < 2.5。

▸查看解答步骤

答: 见步骤

例题 2求 -5 的绝对值和相反数

求 −5-5 的绝对值和相反数。

互动演示相反数 vs 绝对值
|a| = 5-9-6-30369a = -5−a = 5
相反数（镜像）
−(-5) = 5
绝对值（到原点距离）
|-5| = 5
注意：负数时，相反数 5 与绝对值 5 恰好相等。
-5

相反数关于原点对称（带方向）；绝对值只看距离（永远非负）。

▸查看解答步骤

答: |−5| = 5;相反数为 5

即时练习

∣−7∣|-7| 等于多少?

绝对值表示到原点的距离,∣−7∣=7|-7| = 7。

−12-\dfrac{1}{2} 是有理数。

分数也属于有理数,故命题正确。

下列说法正确的是?

绝对值最小的数是 1100 的相反数是 00负数没有绝对值2\sqrt{2} 是有理数

绝对值最小的数是 00;负数也有绝对值(且为正);2\sqrt{2} 是无理数。只有 "00 的相反数是 00" 正确。

    在数轴上,与原点距离为 33 的正数是几?

    到原点距离为 33 的点有 33 和 −3-3,其中正数是 33。

    -4-20242
    -4-2024-2
    -4-2024-4
    -4-20243
    ∣−4∣=4|-4| = 4,−4-4 到原点的距离正好是 44。

      易错点

      • 认为绝对值可以是负数。 ∣a∣≥0|a| \ge 0 永远成立,绝对值不会出现负号。
      • 把 "相反数" 和 "倒数" 搞混。 55 的相反数是 −5-5,但 55 的倒数是 15\dfrac{1}{5}。
      • 画数轴时漏掉三要素。 没有标原点、正方向或单位长度的直线只是一条普通直线,不能称作数轴。

      下一步

      前置知识点