K12 数学课堂 · EasyLearning

核心概念

本节是数论进阶专题的综合挑战,融合欧拉函数与欧拉定理、中国剩余定理、完全平方数性质与数字问题。常用判断:

数论进阶题往往是"组合拳":一道题里可能既要降幂、又要排除、还要按位分析。关键仍是那两条老经验——先看模、先分解。把大数放进合适的模里,把结构拆成质因数,复杂问题就层层化简。

$\varphi(12)$ 等于多少?

$12=2^2\cdot3$ , $\varphi=12\cdot\frac12\cdot\frac23=4$ 。

$\varphi(15)$ 等于多少?

$15=3\times5$ , $\varphi=2\times4=8$ 。

$7^{222}$ 除以 $10$ 的余数是多少?

$\varphi(10)=4$ , $222\equiv2\pmod4$ , $7^2=49\equiv9$ 。

满足 $x\equiv2\pmod3$ 且 $x\equiv3\pmod5$ 的最小正整数是多少?

$x\equiv8\pmod{15}$ ,最小为 $8$ 。

存在末位为 $8$ 的完全平方数。

平方数末位只能是 $0,1,4,5,6,9$ ,不可能是 $8$ 。

完全平方数除以 $4$ 的余数只能是?

0

或

1

0,1,2

都可以

2

或

3

1

或

3

偶数平方 $\equiv0$ ,奇数平方 $\equiv1\pmod4$ 。

$3^{2024}$ 的个位数字是多少?

$\varphi(10)=4$ , $2024\equiv0\pmod4$ , $3^{2024}\equiv3^4\equiv1\pmod{10}$ 。

$2024$ 能被 $11$ 整除。

交错和(从右) $(4+0)-(2+2)=0$ ,能被 $11$ 整除。