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完全平方数的性质

核心概念

完全平方数:能写成某整数平方的数,如 $0,1,4,9,16,25,\dots$ 。它们有一系列"过滤性质",常用来快速排除不可能。

完全平方数的这些性质,本质都来自"平方在某个模下取值很有限"。把整数按模 $4$ (或模 $3$ 、看末位)分类,平方之后的余数只落在很小的集合里,于是任何落在集合外的数立刻被判定"不可能是平方数"。

这是数论证明里极常见的"取模排除法":要证某方程无解,常把它放到模 $4$ 或模 $3$ 下,利用平方数的受限余数导出矛盾。而"约数个数为奇数 ⟺ 完全平方数"则是另一把利器——约数天生成对( $d$ 与 $n/d$ ),唯有平方数的 $\sqrt n$ 自己配自己,才使总数变为奇数。

完全平方数

平方数的末位数字只能是 0, 1, 4, 5, 6, 9; 其余(红色划掉)绝不可能 → 可用来快速排除非平方数。

把整数按这个模分类再平方,余数只落在很小的集合里。落在集合外的数立刻被判定不是完全平方数。

例题 1末位排除

判断 $4\,32\,3$ (即 $4323$ )是否可能是完全平方数。

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答: 不是平方数

例题 2模 4 排除

说明 $x^2 \equiv 3 \pmod 4$ 无解,从而某些方程可被排除。

▸查看解答步骤

答: 无整数解

存在一个完全平方数,它的末位数字是 $7$ 。

平方数末位只能是 $0,1,4,5,6,9$ ,不可能是 $7$ 。

完全平方数除以 $4$ 的余数只能是?

0

或

1

0

或

2

1

或

3

任意

偶数的平方 $\equiv0$ ,奇数的平方 $\equiv1\pmod4$ 。

一个正整数的正约数个数为奇数,当且仅当它是完全平方数。

约数成对出现,只有平方数的平方根自己配自己,使个数为奇。

下列哪个数不可能是完全平方数?

1234567

(末位 7)

1024

3600

441

末位为 $7$ 的数不可能是平方数; $1024=32^2$ , $3600=60^2$ , $441=21^2$ 。

$36$ 有多少个正约数?(借此判断它是不是完全平方数)

$36=2^2\cdot3^2$ ,约数个数 $(2+1)(2+1)=9$ ,为奇数,故 $36=6^2$ 是完全平方数。

前置知识点

接下来学习