数学课堂
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数字问题

核心概念

按位表示:一个两位数记作 ab‾=10a+b\overline{ab} = 10a + b;三位数 abc‾=100a+10b+c\overline{abc} = 100a + 10b + c。用字母表示各位数字,是处理数字问题的起点。

整除判别(由同余推得):

  • 被 99(或 33)整除:各位数字之和能被 99(或 33)整除;
  • 被 1111 整除:奇数位之和与偶数位之和的差(交错和)能被 1111 整除;
  • 被 2,52,5:看末位;被 44:看末两位;被 88:看末三位。

反序数:把各位数字倒序。两位数 ab‾\overline{ab} 与反序数 ba‾\overline{ba} 之差为 9(a−b)9(a-b),恒为 99 的倍数。

直观理解 · 动手试试

数字问题的通用钥匙是"把数字摆成代数式":一旦写出 10a+b10a+b 这样的形式,各种"交换数字""数字和"的关系就变成普通的代数运算。比如反序差   (10a+b)−(10b+a)=9(a−b)  \;(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)\; 一眼看出是 99 的倍数。

整除判别法的根都在同余:因为 10≡1(mod9)10\equiv1\pmod9,所以每一位的权 10k≡110^k\equiv1,整个数就同余于它的数字和;而 10≡−1(mod11)10\equiv-1\pmod{11},各位权变成 +1,−1,+1,…+1,-1,+1,\dots,于是同余于交错和。把"数字"翻译成"代数 + 同余",数字问题就有了统一的解法。

数字问题

1234 的数字和与整除判别

1234
数字和 = 10
交错和 = 2
✗ 被 3 整除✗ 被 9 整除✗ 被 11 整除
1234

被 3 / 9 整除看数字和,被 11 整除看交错和(隔位加减)。根源是 10≡1 (mod 9) 与 10≡−1 (mod 11)。

例题 1反序数之差

证明:任意两位数与其反序数之差,一定是 99 的倍数。

▸查看解答步骤

答: 差是 9 的倍数

例题 2被 11 整除判别

判断 12341234 能否被 1111 整除。

▸查看解答步骤

答: 不能被 11 整除

即时练习

1234512345 的各位数字之和是多少?

1+2+3+4+5=151+2+3+4+5 = 15。

1234512345 能被 33 整除。

数字和 1515 能被 33 整除,故原数能被 33 整除。

任意三位数与其反序数之差,一定能被 9999 整除。

(100a+10b+c)−(100c+10b+a)=99(a−c)(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c),是 9999 的倍数。

20242024 的交错和(奇数位和 − 偶数位和,从右起)等于多少?

从右:奇数位 4,04,0;偶数位 2,22,2。(4+0)−(2+2)=0(4+0)-(2+2)=0,能被 1111 整除,故 20242024 被 1111 整除。

一个数能被 99 整除,当且仅当它的各位数字之和能被 99 整除。

因 10≡1(mod9)10\equiv1\pmod9,原数同余于数字和。

易错点

  • 数字位置摆错。 ab‾=10a+b\overline{ab}=10a+b,十位是 aa;别写成 a+10ba+10b。
  • 被 11 判别用普通数字和。 被 1111 用交错和(隔位加减),不是直接求和。
  • 判别法张冠李戴。 2/52/5 看末位、44 看末两位、88 看末三位、9/39/3 看数字和、1111 看交错和,别混用。

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