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反比例函数

核心概念

反比例函数:形如

y = \dfrac{k}{x} \quad (k \neq 0)

的函数,其中 $k$ 叫做比例系数。

关键约束:

识别反比例函数的核心:看 $x$ 与 $y$ 的乘积是不是一个非零常数。

拖动滑块改变 $k$ ,观察双曲线两支如何随 $k$ 的正负移动。当 $k = 0$ 时,警告条会提醒你这已经不是反比例函数。

互动演示拖动 k,观察双曲线两支的变化

k(比例系数)2.0

图象在第 I、III 象限,每支上 y 随 x 增大而减小

提示:两支曲线永远不与坐标轴相交。

例题 1判断是否为反比例函数

下列各式中,哪些是反比例函数? (1) $y = 3x$ (2) $y = \dfrac{-2}{x}$ (3) $y = \dfrac{x}{5}$ (4) $xy = 0$

互动演示哪个是反比例函数 y = k/x（k≠0）？

反比例函数形如（k≠0，x 在分母）。是正比例；xy=0 即 k=0，不算。

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答: 只有 (2) 是

例题 2由一对值求解析式

已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数,当 $x = 2$ 时 $y = 3$ 。求解析式。

互动演示由一对值求 k：k = xy

设，代入 (x, y) = (2, 3)

3 = k / 2 ⇒ k = 2 × 3 = 6

x = 2

y = 3

反比例函数里 k = x·y 恒定。给一对对应值就能求出 k，从而写出解析式。x=2、y=3 → k=6 → y=6/x。

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答: y = 6/x

下列函数是反比例函数的是?

y = 2x + 1

y = \dfrac{5}{x}

y = x^2

y = \sqrt{x}

只有 $y = 5/x$ 形如 $y = k/x$ ,且 $k = 5 \neq 0$ 。

若 $y = k/x$ ,当 $x = -2$ 时 $y = 4$ ,则 $k =$ ?

$4 = k/(-2) \Rightarrow k = -8$ 。

反比例函数 $y = k/x$ 的自变量可以取任意实数。

$x \neq 0$ ,因为 $0$ 不能作分母。

若 $y$ 与 $x$ 成反比例,且 $x = 3$ 时 $y = 4$ ,则当 $x = 1$ 时, $y =$ ?

$k = 3 \times 4 = 12$ ,所以 $y = 12/x$ , $x = 1$ 时 $y = 12$ 。

前置知识点

接下来学习