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反比例函数的图象和性质

核心概念

反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}$ 的图象是双曲线,关于原点中心对称(也关于直线 $y = x$ 、 $y = -x$ 对称)。

两支位置(由 $k$ 的正负决定):

重要恒等式:在曲线上任取点 $(x, y)$ ,则 $x \cdot y = k$ 。

矩形面积:过曲线上任一点 $P(x, y)$ ,作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线,与坐标轴围成的矩形面积为

S = |x| \cdot |y| = |k|.

注意:增减性是每一支内部单独成立 — 不能把" $x < 0$ "和" $x > 0$ "两支连起来比较!

继续拖动 $k$ ,关注两件事:(1) $k$ 变号时两支换象限;(2) 同一支上, $x$ 增大时 $y$ 的方向(注意 $k > 0$ 是减, $k < 0$ 是增)。

互动演示拖动 k,观察双曲线两支的变化

k(比例系数)2.0

图象在第 I、III 象限,每支上 y 随 x 增大而减小

提示:两支曲线永远不与坐标轴相交。

例题 1比较函数值大小

已知 $y = -6/x$ 。比较 $y_1 = y(-3)$ , $y_2 = y(-1)$ , $y_3 = y(2)$ 的大小。

互动演示y = −6/x：比较大小要分两支

y₁ = −6/(-3) = 2

y₂ = −6/(-1) = 6

y₃ = −6/(2) = -3

"x 越大 y 越小"只在同一支内成立。x=−3、−1 在左支，x=2 在右支，必须分别算出 y 再比较。

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答: y₁ < y₃ < y₂

例题 2求矩形面积

点 $P$ 在反比例函数 $y = 6/x$ 的图象上,过 $P$ 作 $x$ 、 $y$ 轴的垂线,与坐标轴围成的矩形面积是?

互动演示y = 6/x：矩形面积恒为 |k|

P = (2.0, 3.00)

S = |x·y| = 6.0 （恒为 6）

反比例图象上任一点 P，向两轴作垂线围成的矩形面积 = |x·y| = |k|，与 P 的位置无关。这里恒为 6。

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答: 6

反比例函数 $y = 3/x$ 的图象在哪些象限?

第一、二象限第一、三象限第二、四象限第三、四象限

$k = 3 > 0$ ,图象在第 I、III 象限。

对于 $y = 4/x$ , $x$ 越大, $y$ 越小,所以 $y(-1) < y(2)$ 。

$x = -1$ 时 $y = -4$ , $x = 2$ 时 $y = 2$ ,确实 $-4 < 2$ ,但理由错!增减性只能在同一支内比较,跨象限直接比较是错的。这里恰好结论对,但推理过程不严谨。

点 $(-2, -4)$ 在反比例函数 $y = k/x$ 的图象上,则 $k =$ ?

$-4 = k/(-2) \Rightarrow k = 8$ 。

设 $P(x, y)$ 是 $y = 5/x$ 上一点,过 $P$ 作两轴垂线构成的矩形面积是?

$|k| = |5| = 5$ 。

前置知识点

接下来学习