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用频率估计概率

核心概念

当基本事件不易列举或不等可能时(如非均匀硬币、瑕疵骰子、复杂自然现象),用实验估计概率。

频率定义:在 $n$ 次试验中,事件 $A$ 发生了 $m$ 次, $A$ 的频率 $=$

\dfrac{m}{n}

频率与概率的关系(大数定律的直观表述):当试验次数 $n$ 越来越大时,事件 $A$ 的频率 $\dfrac{m}{n}$ 会稳定地接近某个常数,这个常数就是 $A$ 的概率 $P(A)$ :

\dfrac{m}{n} \approx P(A) \quad (n \text{ 充分大})

注意:

频率会波动:试验少时(如 $n = 10$ ),频率可能远离概率;
次数越多越稳定: $n = 10000$ 时,频率与概率的差距通常很小;
频率是实验估计,概率是理论值;在等可能情形,理论值可直接由 $m/N$ 算出。

直观理解 · 动手试试

下面模拟抛公平硬币,试验次数越多,正面频率越接近 $0.5$ 。

互动演示

投硬币 — 频率趋近概率

总次数 N

正面 H

频率 H/N

—

正/反比例

还未投掷

最近 30 步的频率趋势

次数越多,频率越接近 P(正面) = 0.5。

例题 1估计概率

某同学抛一枚硬币 $1000$ 次,得到正面 $510$ 次。估计正面概率。

互动演示频率估计概率：抛得越多越接近 0.5

正面 0 / 共 0 次 → 频率 = —

试验次数越多，频率越稳定地靠近概率。某同学抛 1000 次得正面 510 次 → 频率 0.51 ≈ 理论 0.5。

▸查看解答步骤

答: P(正) ≈ 0.51

例题 2估计鱼塘鱼数

某鱼塘想估计鱼的总数。第一次捕 $50$ 条做标记后放回;过几天再捕 $40$ 条,其中带标记的有 $4$ 条。估计鱼塘总鱼数 $N$ 。

互动演示标记重捕法估计鱼塘总数

🐟🐟🐟🐟🐟🐟🐟🐟🐟🐟🐟🏷️🐟 × 50（已标记）

重捕比例 = 4/40 = 0.100 ≈ 整塘标记比例 50/N

N ≈ 50 ÷ 0.100 ≈ 500 条

重捕数 = 40

其中带标记 = 4

核心假设：样本中的标记比例 ≈ 整体的标记比例。50/N = 4/40 → N ≈ 500 条。

▸查看解答步骤

答: 约 500 条

即时练习

某事件在 $200$ 次试验中发生了 $100$ 次,频率(百分比)是?

$100 / 200 = 0.5 = 50\%$ 。

试验次数 $n$ 越大,频率与概率的差距?

越来越大越来越小(趋于稳定)始终不变没有规律

这是大数定律的直观描述: $n$ 越大,频率越稳定地接近概率。

捕 $30$ 条鱼做标记放回,再捕 $30$ 条,其中带标记的 $3$ 条。估计鱼塘总数。

$\dfrac{30}{N} \approx \dfrac{3}{30} = 0.1 \Rightarrow N \approx 300$ 。

下列说法正确的是?

抛硬币

10

次正面

5

次,所以

P(\text{正}) = 0.5

。频率等于概率。当试验次数足够大时,频率可以作为概率的估计。概率随试验次数变化。

$P$ 是固定的理论值;频率会波动,但在 $n$ 大时接近概率。

易错点

少量试验就下结论。 抛硬币 $10$ 次正面 $7$ 次,不能说 $P(\text{正}) = 0.7$ ;次数太少,频率不稳定。
混淆频率和概率。 频率是实验结果(随机变化),概率是理论值(固定不变)。用频率估计概率。
鱼塘问题颠倒比例。 设总数 $N$ ,标记鱼数固定;比例式应该是 $\dfrac{\text{标记数}}{\text{总数}} \approx \dfrac{\text{捕回中带标记}}{\text{捕回总数}}$ ,别上下写反。

下一步

前置知识点

用列举法求概率

接下来学习

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