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用列举法求概率

核心概念

等可能事件:若一次试验有 NN 种基本结果,每种结果出现的可能性相等,则:

P(A)=A 包含的基本事件数 m基本事件总数 N=mNP(A) = \dfrac{A \text{ 包含的基本事件数 } m}{\text{基本事件总数 } N} = \dfrac{m}{N}

列举的两种方法:

1. 列表法(适合两步试验,如两次掷骰子): 做一张表格,行表示第一次结果,列表示第二次结果,格子写出对应的 (x,y)(x, y) 组合,共 NN 个等可能结果。

2. 树状图法(适合多步试验): 从起始位置画分支表示第一步的可能结果,每个分支再分出第二步、第三步等。沿到叶子节点的每条路径就是一个基本事件。

关键:列举时不要遗漏、不要重复。如果不知道结果是否等可能,需先验证(如"两枚不同硬币"的 (正,反)(正,反) 与 (反,正)(反,正) 是两个不同基本事件)。

直观理解 · 动手试试

求等可能事件的概率,只需要回答两个问题:总共有多少种可能? 以及 目标事件占多少种? 树状图按"先后步骤"逐层展开,列表法按"两维结果"画成网格。两种工具的本质是同一个穷举思想 —— 把所有可能性都摆出来,数一数就行。

互动演示

列举法 / 树状图 / 列表法

起第1枚: 正正第2枚: 正(正,正)第2枚: 反(正,反)第1枚: 反反第2枚: 正(反,正)第2枚: 反(反,反)
所有等可能结果 (共 4 种)
(正,正)(正,反)(反,正)(反,反)
求 "两枚都是正面" 的概率
P = 1 / 4 = 0.250
例题 1两枚硬币

同时抛两枚硬币,求恰好出现"一正一反"的概率。

互动演示两枚硬币：4 种等可能结果
(正, 正)
(正, 反)
一正一反 ✓
(反, 正)
一正一反 ✓
(反, 反)
P(一正一反) = 2 / 4 = 1/2

列举全部 4 种等可能结果，其中"一正一反"有 (正,反) 和 (反,正) 两种。注意它们是不同的结果，不能算 1 种。

▸查看解答步骤

答: P(一正一反) = 1/2

例题 2两次掷骰子求和

掷两次普通骰子(各 11 到 66),求两次点数之和等于 77 的概率。

互动演示两次掷骰子：6×6 = 36 种结果
123456
1234567
2345678
3456789
45678910
567891011
6789101112
P(和=7) = 6/36 = 1/6

两次掷骰子有 6×6=36 种等可能结果。和=7 的格子最多（6 个）→ P=6/36=1/6，是最容易出现的和。

▸查看解答步骤

答: P(和=7) = 1/6

即时练习

掷一枚普通骰子,出现「偶数点」的有几种结果?

偶数点是 2,4,62, 4, 6,共 33 种。

掷两次骰子,基本事件总数 N=?N = ?

6×6=366 \times 6 = 36。

抛一枚骰子,得到"质数点"的概率是?(2,3,52, 3, 5 是质数)

16\dfrac{1}{6}13\dfrac{1}{3}12\dfrac{1}{2}23\dfrac{2}{3}

质数点 {2,3,5}\{2, 3, 5\},m=3m = 3;总数 N=6N = 6;P=3/6=1/2P = 3/6 = 1/2。

    从 {1,2,3}\{1, 2, 3\} 中不放回地抽两次(先后),求"两次都是奇数"的概率。

    16\dfrac{1}{6}13\dfrac{1}{3}12\dfrac{1}{2}23\dfrac{2}{3}

    总数 N=3×2=6N = 3 \times 2 = 6。两次都是奇数({1,3}\{1, 3\} 内排两次):(1,3),(3,1)(1,3),(3,1),m=2m = 2。P=2/6=1/3P = 2/6 = 1/3。

      易错点

      • 以为 (正,反)(正,反) 与 (反,正)(反,正) 是同一个事件。 两枚不同硬币(或先后两次抛同一枚)时,顺序不同算作不同基本事件,否则结果不等可能。
      • 列举时遗漏或重复。 列表法/树状图法严格按行列展开,逐个核对;尤其多步时易漏。
      • 不放回 vs 放回算错总数。 放回:N=n×nN = n \times n;不放回:N=n×(n−1)N = n \times (n-1)。一定先看清题目。

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