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勾股定理的逆定理

核心概念

勾股定理的逆定理:如果三角形的三边 $a, b, c$ 满足

a^2 + b^2 = c^2

那么这个三角形是以 $c$ 为斜边的直角三角形。

用途:用边长判断一个三角形是不是直角三角形(不需要量角度)。

勾股数(整数勾股数组):三个正整数 $a, b, c$ 满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 。常见的有:

$3, 4, 5$
$5, 12, 13$
$6, 8, 10$ (即 $3, 4, 5$ 的 $2$ 倍)
$8, 15, 17$
$7, 24, 25$
$9, 40, 41$

任何一组勾股数乘以同一个正整数仍是勾股数。

直观理解 · 动手试试

正定理:直角 → $a^2 + b^2 = c^2$ ;逆定理: $a^2 + b^2 = c^2$ → 直角。两个方向都成立 —— 这就把"有直角"与"边的平方和"完全等价起来了。

判断时总是用最长的那条边当 $c$ :把三条边排序,看最大的那条的平方是否等于另外两条的平方和。

互动演示

拖动 A、B 看 $a^2 + b^2 = c^2$

直角边 a

3.00

直角边 b

4.00

斜边 c

5.00

a² + b² = 9.00 + 16.00 = 25.00 = c²

拖动顶点 A(沿竖直方向)与顶点 B(沿水平方向)。两个直角边上的正方形面积之和始终等于斜边正方形的面积。

例题 1判断是否直角三角形

三角形三边长 $5, 12, 13$ ,判断是否直角三角形。

互动演示勾股逆定理：a² + b² = c² 就是直角三角形

最长边 13 作斜边 c，其余 5、12 作直角边

5² + 12² = 169=13² = 169

✓ 是直角三角形，斜边 13

逆定理：若两短边平方和 = 最长边平方，则为直角三角形，直角对着最长边。5,12,13 满足 → 直角。

▸查看解答步骤

答: 是,斜边为 13

例题 2不构成直角三角形

三角形三边长 $4, 5, 6$ ,是否直角三角形?

互动演示比较 a²+b² 与 c²，判断三角形类型

4² + 5² = 41>6² = 36

锐角三角形

a = 4

b = 5

c = 6

和最长边平方比：= 直角、> 锐角、<钝角。4,5,6 → 41 > 36 → 锐角（不是直角）。

▸查看解答步骤

答: 不是。

即时练习

三边为 $6, 8, 10$ 的三角形是直角三角形。

$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ 。是直角三角形,以 $10$ 为斜边。

下列哪一组不能构成直角三角形?

3, 4, 5

5, 12, 13

2, 3, 4

8, 15, 17

$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ ,而 $4^2 = 16$ , $13 \neq 16$ ,不是直角三角形。其他都是经典勾股数。

已知一组勾股数 $7, 24, c$ ,求 $c$ 。

$c^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$ , $c = 25$ 。

如果三角形三边满足 $a^2 + b^2 = c^2$ ,那么斜边一定是 $a$ 。

错。斜边是 $c$ (即满足"平方和"等式的那一项,也是最长边)。

易错点

不按从小到大排列就套公式。 必须先排序,把最长边作为候选 $c$ 。否则可能把直角边误认为斜边,得出"不是直角三角形"的错误结论。
混淆勾股数与一般三边。 $3, 4, 5$ 是勾股数(都是整数); $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ 也满足 $a^2+b^2=c^2$ 但不叫"勾股数"(勾股数特指正整数解)。
认为只有勾股数才能构成直角三角形。 错。任何满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的正数三边都构成直角三角形,不要求是整数。

下一步

前置知识点

勾股定理

接下来学习

平行四边形