数学课堂
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勾股定理

核心概念

勾股定理:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

其中 a,ba, b 是两条直角边(短的常叫"勾",长的叫"股"),cc 是斜边(直角所对的边,也叫"弦")。

核心要点:

  • 定理只对直角三角形成立。不是直角三角形时 a2+b2≠c2a^2 + b^2 \neq c^2。
  • cc 始终是斜边(最长边、直角所对的边),不能随便指定。
  • 已知任意两边,可求第三边。

直观理解 · 动手试试

把三个边各自向外画一个正方形,两条直角边上的两个正方形面积之和正好等于斜边上正方形的面积。这就是勾股定理最直观的几何证明思路。

拖动下方的三角形顶点,观察三个正方形面积的关系总是 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2:

互动演示

拖动 A、B 看 $a^2 + b^2 = c^2$

a² = 9.00b² = 16.00ABC
直角边 a
3.00
直角边 b
4.00
斜边 c
5.00
a² + b² = 9.00 + 16.00 = 25.00 = c²

拖动顶点 A(沿竖直方向)与顶点 B(沿水平方向)。两个直角边上的正方形面积之和始终等于斜边正方形的面积。

例题 1已知两直角边求斜边

直角三角形两条直角边长分别为 55 和 1212,求斜边长。

互动演示已知两直角边 → 求斜边
c² = a² + b² = 5² + 12² = 169
c = √169 = 13
a²
25
b²
144
c²
169
b=12a=5c

勾股定理 a² + b² = c²。两直角边 5、12 → 斜边 √169 = 13。斜边取正根。

▸查看解答步骤

答: c = 13

例题 2已知斜边和一直角边求另一直角边

直角三角形斜边长 1010,一条直角边长 66,求另一条直角边长。

互动演示已知斜边和一直角边 → 求另一直角边
斜边 c = 10，直角边 a = 6
b² = c² − a² = 100 − 36 = 64
b = √64 = 8

已知斜边求直角边：用减法 b² = c² − a²（不是加法）。c=10、a=6 → b = √64 = 8。

▸查看解答步骤

答: b = 8

即时练习

直角三角形两直角边为 33 和 44,斜边长是?

c2=9+16=25c^2 = 9 + 16 = 25,c=5c = 5。这就是经典的 3-4-5 勾股数。

直角三角形斜边 1717,一直角边 88,另一直角边长是?

b2=172−82=289−64=225b^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225,b=15b = 15。

直角三角形中,两直角边长分别为 11 和 11,斜边长是?

11222\sqrt{2}3\sqrt{3}

c2=1+1=2c^2 = 1 + 1 = 2,c=2c = \sqrt{2}。这是边长为 11 的正方形的对角线。

    任意三角形都满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2,只要 cc 是最长边。

    错。勾股定理只对直角三角形成立。一般三角形需要余弦定理才能描述边的关系。

    易错点

    • 把直角边当斜边用。 公式 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 中 cc 必须是斜边(直角所对的边,也是最长边)。如果题目给的两边一长一短,不要直接套,先判断哪个是斜边。
    • 求第三边时忘记取正根。 c2=169c^2 = 169 的解是 c=±13c = \pm 13,但长度只取正值,所以 c=13c = 13。
    • 没确认是直角三角形就用定理。 拿到任意三边数据,不能先假设直角而套用 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2。先判断是否直角(这就是下一节的勾股逆定理)。

    下一步

    前置知识点