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二次根式乘除

核心概念

乘法法则( $a, b \ge 0$ ):

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

反过来也成立: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 。化简根式时常用。

除法法则( $a \ge 0,\ b > 0$ ):

\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}

分母有理化:当分母含根号时,分子分母同乘一个合适的因式,把根号"转移"到分子,使分母成为有理数。

分母为 $\sqrt{a}$ :同乘 $\sqrt{a}$ , $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$ 。
分母为 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ :同乘共轭 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ,用平方差 $(a) - (b) = a - b$ 消去根号。

直观理解 · 动手试试

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ 可以这样理解:边长 $\sqrt{a}$ 的正方形面积是 $a$ ,边长 $\sqrt{b}$ 的正方形面积是 $b$ 。 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ 是一个边长为这两者乘积的长度,其平方等于 $ab$ ,所以它本身就是 $\sqrt{ab}$ 。

分母有理化的本质:让分母变得"干净",方便比较大小、加减运算。例如 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 写成 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 后,容易看出它约等于 $0.707$ 。

互动演示

二次根式的化简

质因数分解 (配对的因数可移出根号外)

12 =2×2×3

成对 → 移到根号外

单独 → 留在根号内

提取过程

= =

被开方数 n:12

把 n 写成 k² × m 的形式,即可化简为 k√m。

例题 1乘法化简

计算 $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}$ 。

互动演示根式乘法：合并到一个根号

（a,b ≥ 0）。先并到一个根号下相乘，再化简。√12·√3 = √36 = 6。

▸查看解答步骤

答: 6

例题 2分母有理化

化简 $\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

互动演示分母有理化：把根号"赶出"分母

分母含根号，需要有理化

第 1 / 3 步

关键：分子分母同乘分母的根号，利用 √a·√a = a 把分母变成有理数。值不变（相当于乘 1）。

▸查看解答步骤

答: √6 / 2

即时练习

$\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} =$ ?

$\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10$ 。

$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} =$ ?

$\sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$ 。

化简 $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ ,正确结果是?

\sqrt{5}

\dfrac{\sqrt{5}}{5}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{5}{\sqrt{5}}

分子分母同乘 $\sqrt{5}$ : $\dfrac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$ 。

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4$ 。

$\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$ 。

易错点

忽视 $a, b \ge 0$ 的前提。 $\sqrt{(-3)(-3)} = \sqrt{9} = 3$ ,但 $\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3}$ 在实数范围内无意义。乘法法则只在 $a, b$ 都非负时成立。
除法忘记 $b > 0$ 。 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 要求分母 $\sqrt{b}$ 不为零,所以 $b > 0$ (严格大于,不能等于)。
有理化后没化到最简。 例如 $\dfrac{2}{\sqrt{8}} = \dfrac{2\sqrt{8}}{8} = \dfrac{\sqrt{8}}{4}$ ,还要继续 $= \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 。有理化后记得把分子根号也化简。

下一步

前置知识点

二次根式加减

接下来学习

勾股定理