数学课堂
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二次根式乘除

核心概念

乘法法则(a,b≥0a, b \ge 0):

a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}

反过来也成立:ab=a⋅b\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}。化简根式时常用。

除法法则(a≥0, b>0a \ge 0,\ b > 0):

ab=ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}

分母有理化:当分母含根号时,分子分母同乘一个合适的因式,把根号"转移"到分子,使分母成为有理数。

  • 分母为 a\sqrt{a}:同乘 a\sqrt{a},1a=aa\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}。
  • 分母为 a+b\sqrt{a} + \sqrt{b}:同乘共轭 a−b\sqrt{a} - \sqrt{b},用平方差 (a)−(b)=a−b(a) - (b) = a - b 消去根号。

直观理解 · 动手试试

a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} 可以这样理解:边长 a\sqrt{a} 的正方形面积是 aa,边长 b\sqrt{b} 的正方形面积是 bb。a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} 是一个边长为这两者乘积的长度,其平方等于 abab,所以它本身就是 ab\sqrt{ab}。

分母有理化的本质:让分母变得"干净",方便比较大小、加减运算。例如 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 写成 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} 后,容易看出它约等于 0.7070.707。

互动演示

二次根式的化简

质因数分解 (配对的因数可移出根号外)
12 =2×2×3
成对 → 移到根号外
单独 → 留在根号内
提取过程
= =
12

把 n 写成 k² × m 的形式,即可化简为 k√m。

例题 1乘法化简

计算 12⋅3\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}。

互动演示根式乘法：合并到一个根号

（a,b ≥ 0）。先并到一个根号下相乘，再化简。√12·√3 = √36 = 6。

▸查看解答步骤

答: 6

例题 2分母有理化

化简 32\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}。

互动演示分母有理化：把根号"赶出"分母
分母含根号，需要有理化
第 1 / 3 步

关键：分子分母同乘分母的根号，利用 √a·√a = a 把分母变成有理数。值不变（相当于乘 1）。

▸查看解答步骤

答: √6 / 2

即时练习

5⋅20=\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = ?

5⋅20=100=10\sqrt{5 \cdot 20} = \sqrt{100} = 10。

273=\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = ?

273=9=3\sqrt{\dfrac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3。

化简 15\dfrac{1}{\sqrt{5}},正确结果是?

5\sqrt{5}55\dfrac{\sqrt{5}}{5}15\dfrac{1}{5}55\dfrac{5}{\sqrt{5}}

分子分母同乘 5\sqrt{5}:1⋅55⋅5=55\dfrac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}。

    2⋅8=4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4。

    2⋅8=16=4\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4。

    易错点

    • 忽视 a,b≥0a, b \ge 0 的前提。 (−3)(−3)=9=3\sqrt{(-3)(-3)} = \sqrt{9} = 3,但 −3⋅−3\sqrt{-3} \cdot \sqrt{-3} 在实数范围内无意义。乘法法则只在 a,ba, b 都非负时成立。
    • 除法忘记 b>0b > 0。 ab\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} 要求分母 b\sqrt{b} 不为零,所以 b>0b > 0(严格大于,不能等于)。
    • 有理化后没化到最简。 例如 28=288=84\dfrac{2}{\sqrt{8}} = \dfrac{2\sqrt{8}}{8} = \dfrac{\sqrt{8}}{4},还要继续 =224=22= \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}。有理化后记得把分子根号也化简。

    下一步

    前置知识点
    接下来学习