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二次根式

核心概念

二次根式:形如 $\sqrt{a}$ ( $a \ge 0$ )的式子叫做二次根式。

被开方数 $a$ 必须非负: $\sqrt{-3}$ 在实数范围内无意义。
$\sqrt{a} \ge 0$ :根号本身代表算术平方根,结果一定非负。

最简二次根式:同时满足两条:

被开方数不含分母(不能写成 $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ );
被开方数不含能开得尽的因数(不能写成 $\sqrt{12}$ ,因 $12 = 4 \times 3$ , $4$ 能开尽)。

同类二次根式:化为最简二次根式后,被开方数相同的两个二次根式。例如 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 与 $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ 是同类二次根式。

直观理解 · 动手试试

$\sqrt{a}$ 几何上表示边长为 $\sqrt{a}$ 的正方形面积是 $a$ 。把它放在数轴上, $\sqrt{2}$ 就在 $1$ 和 $2$ 之间, $\sqrt{9} = 3$ 正好落在整数 $3$ 处。

"非负"这个限制就是几何根源:面积不能是负数,所以 $a < 0$ 时 $\sqrt{a}$ 没有"实数"意义。

互动演示

二次根式的化简

质因数分解 (配对的因数可移出根号外)

12 =2×2×3

成对 → 移到根号外

单独 → 留在根号内

提取过程

= =

被开方数 n:12

把 n 写成 k² × m 的形式,即可化简为 k√m。

例题 1化简二次根式

化简 $\sqrt{12}$ 。

互动演示化简二次根式：拆出完全平方因数

找到被开方数里最大的完全平方因数（这里 4），开出来放到根号外。剩下的 3 不再含平方因数 → 最简。

▸查看解答步骤

答: 2√3

例题 2判断同类二次根式

判断 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{18}$ 是否为同类二次根式。

互动演示同类二次根式：化最简后根号内相同

根号内：2

根号内都是 2 → 是同类二次根式

判断同类必须先化成最简再比根号内的数。√8 和 √18 化简后都是 √2 的倍数 → 同类。

▸查看解答步骤

答: 是同类二次根式。

即时练习

下列式子哪个不是二次根式?

\sqrt{5}

\sqrt{0}

\sqrt{-2}

\sqrt{x^2 + 1}

二次根式要求被开方数非负。 $-2 < 0$ , $\sqrt{-2}$ 在实数范围内无意义。

化简 $\sqrt{50} = k\sqrt{2}$ ,则 $k =$ ?

$50 = 25 \times 2$ , $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ,所以 $k = 5$ 。

$\sqrt{27}$ 与 $\sqrt{75}$ 是同类二次根式。

$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ , $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ 。最简形式根号内都是 $3$ ,是同类。

下列哪个是最简二次根式?

\sqrt{8}

\sqrt{\dfrac{1}{3}}

\sqrt{7}

\sqrt{12}

$\sqrt{7}$ 的被开方数既不含分母,也不含完全平方因数,是最简。

易错点

忽略 $a \ge 0$ 的前提。 看到 $\sqrt{x - 3}$ 这类带字母的根式,必须附加条件 $x - 3 \ge 0$ ,即 $x \ge 3$ ,否则无意义。
化简不彻底。 $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ ,但 $\sqrt{18}$ 还能继续化简,正确答案是 $6\sqrt{2}$ 。一直化到根号内没有完全平方因数为止。
判断同类时不先化简。 $\sqrt{8}$ 和 $\sqrt{18}$ 表面上不相同,但化简后都含 $\sqrt{2}$ ,是同类。判断同类二次根式必须先化简到最简形式。

下一步

前置知识点

分式方程

接下来学习

二次根式加减