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一元一次不等式组

核心概念

一元一次不等式组:把几个一元一次不等式联立起来,共同对同一个未知数 $x$ 提出限制。例如:

\begin{cases} x > 1 \\ x \le 5 \end{cases}

不等式组的解集 = 同时满足每个不等式的所有 $x$ 值 = 各个解集的交集。

求解步骤:

逐个解出每个不等式的解集( $x \,?\, c_i$ 形式)。
把每个解集画到同一根数轴上。
找各个解集的公共部分(几个射线/区间的交集)。

四种典型情况(两个不等式时):

两个解集	公共部分	例子
一大一小,同向	取小的(都成立的最严范围)	$x > 1$ 且 $x > 3$ → $x > 3$
一大一小,反向(有交集)	中间一段	$x > 1$ 且 $x \le 5$ → $1 < x \le 5$
反向无交集	空集(无解)	$x > 5$ 且 $x < 1$ → 无解
同向相同	整个解集就是它们	$x \ge 0$ 且 $x \ge 0$ → $x \ge 0$

记忆口诀:同大取大,同小取小,大小交叉中间找,大大小小空一场。

直观理解 · 动手试试

解不等式组的本质是找交集 —— 看下面同一根数轴上两条射线重叠的部分,这就是组的解集。试着切换条件,体会"两个范围相交"是什么意思。

互动演示数轴上看不等式

拖动 a:2

实心点 = "≤ / ≥"(取等号);空心点 = "< / >"(不取等号)。绿色区域 = 满足不等式的所有 $x$ 值。

如果两条射线完全不重叠 → 解集为空(写作 $\varnothing$ 或"无解")。

例题 1有交集的情况

解不等式组 $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ 3x \le 15 \end{cases}$ 。

互动演示不等式组 = 找交集（重叠段）

把两个解集画在同一条数轴上，重叠的黄色段就是不等式组的解：2 < x ≤ 5（左端空心、右端实心）。

▸查看解答步骤

答: 2 < x ≤ 5

例题 2无解的情况

解不等式组 $\begin{cases} x + 1 > 4 \\ 2x \le 4 \end{cases}$ 。

互动演示两范围不重叠 → 无解 (∅)

解集 = ∅（空集）

x 不可能同时 > 3 又 ≤ 2 —— 两条射线朝相反方向、毫无重叠。这类"大大小小"的组无解。

▸查看解答步骤

答: 无解(空集 ∅)

即时练习

不等式组 $\begin{cases} x > -1 \\ x < 4 \end{cases}$ 的解集是? $x > -1$ $x < 4$ $-1 < x < 4$ 无解两条射线的公共部分是中间一段 $-1$ 到 $4$ ,且两端都不取等(都是严格不等)。

不等式组 $\begin{cases} x > 5 \\ x < 1 \end{cases}$ 没有解。 "大于 5"和"小于 1"无法同时满足 → 空集。

解不等式组 $\begin{cases} x \ge 3 \\ x > -2 \end{cases}$ ,解集是 $x \ge ?$ ,这个数是? 同向"取大的": $x \ge 3$ 已经比 $x > -2$ 更严格,故解集 $x \ge 3$ 。

"同大取大,同小取小,大小交叉中间找,大大小小空一场"中,"大大小小空一场"对应的是哪种情况? 两个都是 $x >$ 类型两个都是 $x <$ 类型 $x >$ 较大的数且 $x <$ 较小的数(范围反向无交集) $x \ge a$ 且 $x \le a$ "大大小小"指 $x$ 要大于较大数同时小于较小数,这是不可能的 → 空集。

易错点

解每个不等式时,只解一个忘了另一个
求交集时取并集 —— 不等式组是"同时满足",必须取交集
把"无解"写成" $x \in \varnothing$ " 没错,但有同学画数轴时画了"全空数轴" → 应直接写无解或 $\varnothing$

下一步

前置知识点

一元一次不等式

接下来学习

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