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一元一次不等式

核心概念

一元一次不等式:只含一个未知数,未知数最高次数为 1,把方程的等号换成不等号( $< > \le \ge$ )就是一元一次不等式。

例如: $3x - 2 < 7$ 、 $\frac{x+1}{2} \ge 3$ 。

解一元一次不等式的步骤(几乎和解一元一次方程相同):

把解集画到数轴上:解集 = 满足不等式的所有 $x$ 值的集合。 $\le, \ge$ 用实心点, $<, >$ 用空心点;再向相应方向画射线。

求解一元一次不等式 = 把表达式化简到 $x \,?\, c$ 的形式 → 在数轴上画出解集。下面的演示直接展示数轴上的解集长什么样。

互动演示数轴上看不等式

拖动 a:2

实心点 = "≤ / ≥"(取等号);空心点 = "< / >"(不取等号)。绿色区域 = 满足不等式的所有 $x$ 值。

记忆口诀:遇到负数,变号要清楚 —— 系数化为 1 时若除以负数, $>$ 立刻变 $<$ , $\le$ 立刻变 $\ge$ ,反之亦然。

例题 1标准步骤

解不等式 $3x - 2 > 10$ 。

互动演示解一元一次不等式：3x − 2 > 10

3x − 2 > 10原不等式

第 1 / 3 步

解集 x > 4 在数轴上是从 4（空心点，取不到 4）向右的射线。

▸查看解答步骤

答: x > 4

例题 2负系数变号

解不等式 $-2x \ge 6$ 。

互动演示负系数 → 除以负数要变号

−2x ≥ 6

系数是 −2（负数）

第 1 / 2 步

x ≤ −3 含等号 → 端点 −3 用实心点，向左画。除以负数忘记变号是最常见的错。

▸查看解答步骤

答: x ≤ -3

解 $2x - 3 < 5$ ,解集为 $x < ?$ ,这个数等于? $2x < 8 \Rightarrow x < 4$ 。

解不等式 $-x + 1 \le 4$ ,正确解集是? $x \le -3$ $x \ge -3$ $x \le 3$ $x \ge 3$ 移项 $-x \le 3$ ,两边乘以 $-1$ 变号 → $x \ge -3$ 。

在数轴上画 $x > 5$ 的解集,起点 5 必须用空心点。 $>$ 严格不等, $x = 5$ 不算解 → 空心点。

不等式 $\dfrac{x+1}{3} \ge -\dfrac{1}{3}$ 的解集是 $x \ge ?$ ,请填这个数。两边同乘 3(正数,不变号): $x + 1 \ge -1$ ,移项得 $x \ge -2$ 。

前置知识点

接下来学习