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不等式

核心概念

不等式:用不等号 ( $<$ 、 $>$ 、 $\le$ 、 $\ge$ 、 $\ne$ ) 连接两个数或式子,表达大小关系。

例如: $3 + 2 > 4$ 、 $x - 1 \le 5$ 、 $2x \ne 0$ 。

不等式的解:使不等式成立的未知数取值;所有解的集合叫解集。

不等式不同于方程的关键:解通常不是一个数,而是一段范围(数轴上的一段或一条射线)。

三条性质 (与等式类似但有重要差别):

性质 3 是最容易出错的地方 —— 乘除负数要变号!

不等式的解不是"一个点",而是"数轴上的一段"。下面这条数轴上,绿色区域里每一个数都是不等式的解 —— 试着拖动 $a$ 或换条件,看解集怎么变。

互动演示数轴上看不等式

拖动 a:2

实心点 = "≤ / ≥"(取等号);空心点 = "< / >"(不取等号)。绿色区域 = 满足不等式的所有 $x$ 值。

注意空心和实心圆点的差别 —— 空心说明"取不到 a 这个值",实心说明"a 也算解"。

例题 1不等式两边同时操作

判断:把 $x > 3$ 两边同时乘以 $-2$ ,结果还是 $-2x > -6$ 吗?

互动演示两边同时操作 —— 什么时候要变号？

起始：x > 3

−2x < −6

⚠ 乘/除负数 → 不等号方向改变 (> 变 <)

只有乘以或除以负数时不等号才翻转。加减任何数、乘除正数都不变号。题中 ×(−2) 应得 −2x < −6。

▸查看解答步骤

答: 同号操作不变号,乘除负数变号

例题 2检验某个值是不是解

不等式 $x + 3 > 6$ , $x = 5$ 和 $x = 1$ 各自是不是解?

互动演示检验解：x + 3 > 6 的解集是一段区间

x = 5：5 + 3 = 8 > 6 ✓ 是解

拖动 x =5

x=5 落在绿色区域 → 是解；x=1 落在区域外 → 不是解。解集是所有 x > 3（无数个），不是单个值。

▸查看解答步骤

答: x=5 是解,x=1 不是解

把 $x > 4$ 两边同时除以 $-2$ ,正确结果是? $-\frac{x}{2} > -2$ $-\frac{x}{2} < -2$ $\frac{x}{2} > 2$ $\frac{x}{2} < 2$ 除以负数 → 不等号变号。

不等式 $x > 5$ 的解只有 $x = 6$ 。错。 $x > 5$ 的解集是所有大于 5 的实数(无穷多个),不是单个数。

$2x \ge 6$ 的解集是 $x \ge ?$ ,请填这个数。两边同除 2(正数,不变号): $x \ge 3$ 。

下列哪一项不是不等式 $x - 1 \le 3$ 的解? $x = 0$ $x = 4$ $x = 5$ $x = -2$ 解集是 $x \le 4$ 。 $x = 5$ 超过 4,不满足。

前置知识点

接下来学习