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一次函数

核心概念

一次函数:形如

y = kx + b \quad (k \ne 0)

其中 $k, b$ 是常数, $k$ 称为斜率, $b$ 称为纵截距(直线与 $y$ 轴交点的 $y$ 坐标)。

特殊情形:当 $b = 0$ ,即 $y = kx$ ,称为正比例函数,图象是过原点的直线。

图象与性质:

画图技巧:任意两点确定一条直线。常取 $x = 0$ 与 $y = 0$ 两个交轴点。

拖动滑块改变 $k$ 与 $b$ ,观察直线如何变化:

斜率 k1.5

截距 b-1.0

试试:拖动 k 改变陡峭程度,拖动 b 让直线整体上下移动。

例题 1画一次函数图象

画出 $y = 2x + 1$ 的图象。

互动演示画 y = 2x + 1：两点定一线

点下面按钮，一步步画

画一次函数最快的方法是求两个截距（与坐标轴的交点），标出后连线即可。

▸查看解答步骤

答: 过 (0, 1) 与 (-1/2, 0) 的直线。

例题 2由两点求解析式

直线经过 $(1, 1)$ 和 $(2, 3)$ ,求一次函数解析式。

互动演示两点求解析式：先求斜率 k，再求 b

设 y = kx + b

代入两点，解出 k 和 b…

斜率 k = 纵坐标差 ÷ 横坐标差。求出 k 后，把任一点代回 y = kx + b 解出 b。

▸查看解答步骤

答: y = 2x − 1

一次函数 $y = 2x + 1$ 在 $x = 2$ 时的函数值是?

$y = 2 \times 2 + 1 = 5$ 。

一次函数 $y = -3x + 5$ 中, $y$ 随 $x$ 的增大而减小。

$k = -3 < 0$ ,所以函数递减。

下列哪个不是一次函数?

y = 3x - 2

y = -x

y = x^2 + 1

y = \dfrac{1}{2}x + 5

$y = x^2 + 1$ 含 $x^2$ 项,是二次函数,不是一次函数。一次函数要求自变量的最高次为 $1$ 。

一次函数 $y = kx - 1$ 经过点 $(2, 5)$ , $k$ 的值是?

代入: $5 = 2k - 1$ , $2k = 6$ , $k = 3$ 。

前置知识点

接下来学习