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函数

核心概念

函数定义:在一个变化过程中,有两个变量 $x$ 与 $y$ 。如果对于 $x$ 的每一个值, $y$ 都有唯一确定的值与之对应,那么 $y$ 是 $x$ 的函数。

记作 $y = f(x)$ ,读作 " $y$ 等于 $f$ 关于 $x$ 的函数"。

$x$ 称为自变量(独立变化的);
$y$ 称为因变量(随 $x$ 变化的);
给定 $x = a$ 时, $y$ 的具体值 $f(a)$ 称为函数值;
$x$ 的允许范围称为定义域; $y$ 的所有取值范围称为值域。

函数的三种表示法:

解析式(公式):如 $y = 2x + 1$ ;
表格(列表):列出有限组 $(x, y)$ ;
图象(图象):在坐标平面上画出所有 $(x, y)$ 点。

关键:"每个 $x$ 对应唯一 $y$ " —— 一个 $x$ 对两个不同 $y$ 就不是函数(竖直线测试)。

直观理解 · 动手试试

把函数想象成一台机器:从输入口放进 $x$ ,机器内部按规则计算,从输出口吐出唯一的 $y$ 。换不同的规则,同一个 $x$ 会得到不同 $y$ ,但对每条规则,每个 $x$ 只产生一个 $y$ 。

函数机

输入 x,看输出 y

x:2.0

函数图象

每输入一个 x 值,函数都输出唯一的 y 值。这就是函数的"对应"含义。

例题 1求函数值

函数 $y = 2x + 1$ ,当 $x = 3$ 时, $y$ 的值是多少?

互动演示求函数值：代入 x 算 y

x = 3→ y = 2·3 + 1 →y = 7

-1

↓

-1

↓

拖动 x =3

函数 y = 2x + 1 像一台机器：每输入一个 x，唯一输出一个 y。x = 3 → y = 7。

▸查看解答步骤

答: y = 7

例题 2判断是不是函数

判断下列对应关系是否是函数:(1) 每个学生对应他的身高;(2) 每个班级对应所有学生的姓名。

互动演示是函数吗？每个输入是否只对一个输出

✓ 是函数：每个输入只对应一个输出

函数的本质是"一对一或多对一"：左边每个元素只能发出一条箭头。出现"一对多"就不是函数。

▸查看解答步骤

答: (1) 是;(2) 不是。

即时练习

函数 $y = x^2$ ,当 $x = 3$ 时, $y$ 等于?

$y = 3^2 = 9$ 。

若一个 $x$ 值对应两个不同的 $y$ 值,那么 $y$ 仍然是 $x$ 的函数。

错。函数要求每个 $x$ 对应唯一的 $y$ 。一对多不是函数。

下列哪一个不是 $y$ 关于 $x$ 的函数?

y = 3x + 5

y = x^2

x = y^2

y = \dfrac{1}{x}

(

x \ne 0

)

$x = y^2$ 解出 $y = \pm\sqrt{x}$ ,一个 $x > 0$ 对应两个 $y$ ,不是 $y$ 关于 $x$ 的函数。

函数 $y = \dfrac{10}{x}$ ,当 $x = 2$ 时, $y$ 的值是?

$y = \dfrac{10}{2} = 5$ 。

易错点

认为只有" $y$ 等于某个表达式"才叫函数。 表格、图象都是函数的表示方法。表格里也能定义函数,只要每个 $x$ 对应唯一 $y$ 。
忽略定义域。 $y = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处无意义,定义域是 $x \neq 0$ 。给定函数时,必须考虑哪些 $x$ 能让表达式有意义(分母不为零、根号内非负等)。
混淆"自变量"与"因变量"。 $y = f(x)$ 里, $x$ 是自变量(自由选取的), $y$ 由 $x$ 决定。两者不能调换。

下一步

前置知识点

特殊的平行四边形

接下来学习

一次函数