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等腰三角形

核心概念

等腰三角形:有两条边相等的三角形,这两条相等的边叫腰,第三条叫底边;两腰的夹角叫顶角,腰与底边所夹的两个角叫底角。

性质 1(等边对等角):等腰三角形的两个底角相等。简写:"等边对等角"。

若 AB=ACAB = AC,则 ∠B=∠C\angle B = \angle C。

性质 2(三线合一):等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(是同一条线段)。

判定(等角对等边):有两个角相等的三角形是等腰三角形,这两个角的对边是腰。

等边三角形 (equilateral triangle):三边都相等的三角形。它是等腰三角形的特殊情形:

  • 三边相等,三角都相等,每个内角 60∘60^\circ;
  • 既是轴对称图形(3 条对称轴),又有三线合一的强化版本。

直观理解 · 动手试试

把等腰三角形沿顶角平分线对折,两腰、两底角能完全重合 —— 这就是它的轴对称本质。这条折痕同时是:

  • 顶角的平分线(把顶角分两半);
  • 底边的中线(过底边中点);
  • 底边的高(垂直底边)。

这三个"身份"重合在一条线上,所以叫三线合一。"三线合一"是等腰三角形最有用的工具:出题人给你三条角平分线 / 中线 / 高中的任何一条,你都能反推出"等腰"。

拖动顶点 A 改变三角形的"高",观察从 A 出发的 4 条特殊线段始终重合在同一条线上:

互动演示等腰三角形 — 三线合一(其实是四线合一)
ABCD
|AB|
214.7
|AC|
214.7
∠B
62°
∠C
298°

AB = AC(等腰)→ ∠B = ∠C(底角相等)。从 A 出发的 4 条特殊线段(高、中线、角平分线、对边的垂直平分线)**完全重合** — 这就是"三线合一"(实际上四线合一)。

例题 1等边对等角求底角

等腰 △ABC\triangle ABC 中,AB=ACAB = AC,∠A=40∘\angle A = 40^\circ。求两底角 ∠B, ∠C\angle B,\ \angle C。

互动演示等腰三角形：等边对等角
A 40°B 70°70° C
顶角 ∠A = 40°（AB = AC）
底角 ∠B = ∠C = (180° − 40°) ÷ 2 = 70°

等腰三角形两腰相等 → 两底角相等。底角 = (180° − 顶角) ÷ 2。顶角 40° → 底角 70°。

▸查看解答步骤

答: 底角 = 70°。

例题 2三线合一求长度

等腰 △ABC\triangle ABC 中,AB=ACAB = AC,ADAD 为 ∠A\angle A 的平分线,BC=10BC = 10。求 BDBD。

互动演示等腰三角形"三线合一"
ABC
AB = AC，AD 平分 ∠A，BC = 10

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一。所以 D 是 BC 中点，BD = 5。

▸查看解答步骤

答: BD = 5。

即时练习

等腰 △ABC\triangle ABC 中,AB=ACAB = AC,顶角 ∠A=80∘\angle A = 80^\circ。底角是多少度?

底角 =(180∘−80∘)/2=50∘= (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ。

等腰三角形的一个内角是 40∘40^\circ,则另两个内角是?

40∘, 100∘40^\circ,\ 100^\circ70∘, 70∘70^\circ,\ 70^\circ40∘, 100∘40^\circ,\ 100^\circ 或 70∘, 70∘70^\circ,\ 70^\circ40∘, 40∘40^\circ,\ 40^\circ

40∘40^\circ 可能是顶角(底角 = 70°, 70°)或底角(另一底角 = 40°, 顶角 = 100°),两种情况都成立。

    等边三角形的每个内角都是 60∘60^\circ。

    三角相等且和为 180∘180^\circ,每角 =60∘= 60^\circ。

    下列说法正确的是?

    等腰三角形的三条边都相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线重合所有等腰三角形都是等边三角形等腰三角形不一定是轴对称图形

    这是"三线合一"。等腰三角形是轴对称的(对称轴就是三线合一那条线);等边是等腰的特例。

      易错点

      • 顶角和底角搞错。 顶角是两腰的夹角,底角是底边相邻的角。给定一个角,如果没说是顶角还是底角,常常要分类讨论。
      • 三线合一仅适用于等腰。 一般三角形的顶角平分线 / 中线 / 高一般不重合;只有等腰三角形,且"顶角"或"底边"对应的那条线才合一。
      • 忘记内角和限制。 等腰加内角和能确定第三个角,但要注意顶角必须 <180∘< 180^\circ、底角必须 <90∘< 90^\circ 才能成立。

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