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画轴对称图形

核心概念

画一个图形关于直线 $\ell$ 的对称图形的步骤:

坐标系中的特殊轴对称:

要画整个图形关于坐标轴对称的像,只需把所有顶点都按上面规则变换,再连线。

画轴对称图形的本质 —— 对每个点单独做反射,再用同样的连线复制图形结构。点的反射才是核心,图形的边只是连接结果。

互动演示

点击画布放置点 P;拖动绿色对称轴左右移动。

反射规则:(x, y) → (2·0 − x, y) = (-3, 2)

在交互里,点击放点、拖轴改变对称轴位置,观察 $P'$ 的横坐标如何随轴位置改变。规律是 $x_{P'} = 2 \cdot x_{\text{轴}} - x_P$ 。当轴是 $y$ 轴( $x_{\text{轴}} = 0$ )时,化为 $x_{P'} = -x_P$ 。

例题 1求点关于直线 x=2 的对称点

求点 $P(4, 5)$ 关于直线 $x = 2$ 的对称点。

互动演示关于竖直线 x = k 对称

P 到轴距 |4−2| = 2，P′ 在另一侧同距 → P′ = (0, 5)

对称轴 x = 2

对称点公式：x′ = 2k − x（到轴等距、在另一侧），y 不变。本题 x=2：P(4,5) → P′(0,5)。

▸查看解答步骤

答: (0, 5)。

例题 2求三角形关于 x 轴的对称三角形

$\triangle ABC$ 三顶点为 $A(1, 2),\ B(4, 3),\ C(2, 5)$ 。求关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A'B'C'$ 各顶点坐标。

互动演示三角形关于 x 轴对称：(x, y) → (x, −y)

A(1,2) → ?

B(4,3) → ?

C(2,5) → ?

关于 x 轴对称：每个顶点纵坐标取相反数、横坐标不变。新旧三角形全等，关于 x 轴镜像。

▸查看解答步骤

答: A'(1, -2), B'(4, -3), C'(2, -5)。

点 $A(-3, 5)$ 关于 $y$ 轴对称的点是?

(3, 5)

(-3, -5)

(3, -5)

(5, -3)

关于 $y$ 轴对称: $x$ 变号, $y$ 不变, $(-3, 5) \to (3, 5)$ 。

点 $P(7, -2)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $P'(a, b)$ 。 $a$ 等于多少?

$a = -7,\ b = -2$ 。

画对称图形时,只需对所有顶点(关键点)做对称,再按原图形的连接关系连线即可。

图形的边是顶点的连接;顶点反射好了,边自然就对应过去了。

点 $(5, -3)$ 关于直线 $y = x$ 对称的点是?

(-5, 3)

(-5, -3)

(-3, 5)

(3, 5)

关于 $y = x$ 对称,交换横纵坐标: $(5, -3) \to (-3, 5)$ 。

作对称时只画一个点。 应当把所有关键顶点都做对称,再连接 —— 单点不够构成图形。
关于 $x$ 轴 / $y$ 轴搞反。 记口诀:"关于谁,谁不变,另一个变号"。关于 $x$ 轴: $x$ 不变;关于 $y$ 轴: $y$ 不变。
关于一般直线 $x=a$ 对称时直接 $x \to -x$ 。 错。应使用 $x \to 2a - x$ ;只有 $a = 0$ ( $y$ 轴)时才是简单取反。

前置知识点

接下来学习