数学课堂
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整式

核心概念

单项式:由数与字母的乘积组成的代数式,叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

  • 系数:单项式中的数字因数。如 −3x2y-3x^2y 的系数是 −3-3。
  • 次数:单项式中所有字母指数的和。−3x2y-3x^2y 的次数是 2+1=32 + 1 = 3。

特别约定:常数 55 的系数是 55,次数是 00;字母 xx 的系数是 11,次数是 11。

多项式:几个单项式的和,叫做多项式。每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。

  • 项数:多项式中单项式的个数。5x3−2x+75x^3 - 2x + 7 有 33 项。
  • 次数:多项式中次数最高的项的次数。5x3−2x+75x^3 - 2x + 7 的次数是 33。

整式:单项式与多项式统称为整式。

降幂排列:按某个字母指数从高到低重新排列各项,如 5x3−2x+75x^3 - 2x + 7 本身就是关于 xx 的降幂排列。

直观理解 · 动手试试

把代数式想象成一份 "材料清单":系数告诉你 "用多少", 字母告诉你 "用哪种原料", 指数告诉你 "原料要乘几次"。单项式是一份 "单一配方", 多项式是把几份配方加在一起。

学会先看 "项数", 再看每一项的 "系数" 与 "次数", 你就能像物理学家分析化学式一样精确描述任意代数式的结构。

互动演示

单项式各部分名称

-3x2y1系数coefficient指数变量变量指数为 1
单项式
系数
-3
次数 = 2 + 1
3
-3
2

变量 x, y。次数 = 所有变量指数之和。

例题 1找出 -3x²y 的系数与次数

求 −3x2y-3x^2y 的系数和次数。

互动演示单项式的系数与次数 —— 次数 = 各字母指数之和
x2
+
y1
系数
-3
次数
2 + 1 = 3

系数是连同符号的数字因数；次数是所有字母指数之和（两摞方块的总数），不是最大指数。

▸查看解答步骤

答: 系数 -3,次数 3

例题 2多项式 5x³ − 2x + 7 的项与次数

按 xx 的降幂排列并指出多项式 5x3−2x+75x^3 - 2x + 7 的项数、次数和常数项。

互动演示解剖多项式
+
+

各项次数为 3、1、0，已是降幂排列。多项式的次数取最高那一项（3），不是各项次数之和。常数项要连符号。

▸查看解答步骤

答: 3 项,次数 3,常数项 7

即时练习

下列代数式中,单项式是哪一个?

x+yx + y−5a2b-5a^2b1x\dfrac{1}{x}2x−32x - 3

x+yx + y 与 2x−32x - 3 是多项式;1x\dfrac{1}{x} 含字母在分母,不属于整式。只有 −5a2b-5a^2b 是数字与字母的乘积,是单项式。

    单项式 −7x2y3-7x^2y^3 的次数是多少?

    2+3=52 + 3 = 5,所以次数是 55。

    多项式 2x2−3x+12x^2 - 3x + 1 的次数是 22。

    多项式的次数等于最高次项的次数。2x22x^2 是二次项,故整个多项式的次数为 22。

    下列说法错误的是?

    π\pi 是常数,可以作为单项式的系数多项式 x2+2x−5x^2 + 2x - 5 的常数项是 55单独的字母 aa 是单项式,系数是 1100 是单项式

    常数项要连同符号,x2+2x−5x^2 + 2x - 5 的常数项是 −5-5,不是 55。

      易错点

      • 常数项漏带符号。 多项式 3x−73x - 7 的常数项是 −7-7,不是 77;系数也是同理。
      • 把 1x\dfrac{1}{x} 当成整式。 字母出现在分母里就不是整式了,这种式子叫分式。
      • 次数算错:把多项式各项的次数相加。 多项式的次数是最高次项的次数,不是各项次数之和。

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      前置知识点
      接下来学习