进阶≈ 14 分钟未开始

抢数字游戏

核心概念

抢数字游戏(抢 N):从 $0$ 开始,两人轮流给当前数加上 $1$ 到 $m$ 中的一个整数,谁先到达 $N$ 谁获胜。

关键观察:它本质就是巴什博弈——把"到达 $N$ "看成"取走 $N$ 颗石子",每次加 $1\sim m$ 等价于取 $1\sim m$ 颗。于是:

控制点:那些与 $N$ 相差 $m+1$ 整数倍的数,谁占住谁掌握主动。

抢数字和取石子是"同一个游戏的两件外衣":取石子是把数往下减到 $0$ ,抢数字是把数往上加到 $N$ ,而"每步幅度 $1\sim m$ 、谁达标谁赢"完全一致。认出这种等价转化,就能把陌生的新游戏直接套用已知结论。

实战中只要盯住"控制点"——以 $N$ 为终点、每隔 $m+1$ 倒推回来的那串数。谁先站上离自己最近的控制点,就能一路把对手卡在控制点之间,稳稳抢到 $N$ 。

抢数字

控制点(每隔 3 倒推回来)

36912151821242730

30 ÷ 3 余 0： 先手必败(够不到第一个控制点),后手必胜。

目标 N30

每次最多加 m2

抢数字就是倒过来的取石子。谁先站上离自己最近的控制点,就能每轮把和补足 m+1,一路抢到 N。

例题 1抢 30(每次加 1 或 2)

从 $0$ 开始,每次加 $1$ 或 $2$ ,先说到 $30$ 的人赢。谁有必胜策略?

▸查看解答步骤

答: 后手必胜

例题 2抢 100(每次加 1 到 10)

从 $0$ 开始,每次加 $1$ 到 $10$ ,先到 $100$ 者胜。谁必胜?

▸查看解答步骤

答: 先手胜,首说 1

抢 $30$ (每次加 $1$ 或 $2$ )中,谁有必胜策略?

后手先手取决于运气无人必胜

$30\equiv0\pmod3$ ,先手够不到第一个控制点,后手必胜。

抢 $100$ (每次加 $1$ 到 $10$ ),先手第一步应说出哪个数?

$100\bmod11 = 1$ ,先说 $1$ 占住控制点。

抢数字游戏与取石子(巴什博弈)本质是同一个游戏。

加到 N 与从 N 取到 0 完全等价,步幅与胜负规则一致。

抢 $21$ (每次加 $1$ 到 $3$ ),谁必胜?

先手(21 不是 4 的倍数)后手无人必胜取决于第一步

$m+1=4$ , $21\bmod4 = 1\neq0$ ,先手必胜(首说 $1$ )。

前置知识点

接下来学习